数学史话之直觉就是王道拉马努金

既然这段时间一直在说印度数学，由于非欧洲数学的离散性，在介绍他们的时候，总是以一个个的个人为重点介绍对象，而不是一个有传承脉络的学科。这种情形有一个不好的地方就在于，每一个人都有可能对某一个知识点有发现，但是联系起来看，似乎大家发现的是差不多的内容，并没有太多的创新点，这与欧洲数学的有明确的传承性不一样，所以觉得在介绍每一个数学家的研究内容是，都大同小异。作为数学史话印度数学系列的终章，我们最后再来介绍一下现代印度数学的代表人物--拉马努金。一个从未接受过数学训练，却依然做出了惊人成就的直觉主义者。

斯里尼瓦瑟·拉马努金

斯里尼瓦瑟·拉马努金于1887年出生在印度东南部的泰米尔纳德邦的埃罗德，他家是个没落的婆罗门家庭，家中有7口人，拉马努金是长子，全家依靠做小职员的父亲每个月20卢比的收入艰难度日。拉马努金在5岁的时候开始去学校上课，但是他经常逃课，不是因为他不喜欢上学，而是他对老师的那种枯燥乏味的教学手段深恶痛绝，他最喜欢做的事情就是一个人静静地思考。不管怎么样，拉马努金10岁的时候小学毕业了，并且在毕业考试中考了全地区的第一名。进入中学后，拉马努金依然是老师眼里的克星，因为他的问题总是非常刁钻古怪。比如老师说：一个数除以本身，一定等于1，比如3个苹果3个人分，那么每人1个苹果。这是拉马努金就会立即反驳：那么0除以0呢？没有苹果也没有人分，还是每人1个苹果吗？老师们总是用一种可以杀死他的眼神看着他。拉马努金家经常会出租一些房间给房客居住，以便收取一点租金补贴家用，在这些房客中，有一些附近大学的学生，拉马努金总是缠着他们，请他们给自己讲数学的知识。有人就把《龙氏三角学》借给了他，这是一本大学的三角学教程，但是拉马努金很快就掌握了这本书，并且他认为可以将三角函数看做高等数学中的无穷级数，而不是像书本上简单的三角形的各边之比。

普通人和拉马努金眼中的三角函数

拉马努金就这样在老师和同学的仰视中从中学毕业了，进入了贡伯戈纳姆政府学院继续深造，但是他平静的生活很快就被打破了。在中学毕业前的一段时间里，拉马努金拿到了英国人卡尔编写的一本名为《纯粹数学与应用数学基本结果汇编》的书，在书中列举了包含代数、三角、微积分、解析几何等在内的共约5000多个数学方程，但书中仅给出了结论，很少提及证明或解释。这给拉马努金打开了一扇大门，他开始对书中的每一个方程用自己的方法进行证明。然而，由于他沉浸在这本书的证明中不能自拔，所以他除了数学以外的其他科目统统都不及格，这让他失去了奖学金。对于拉马努金来说，一个学期32卢比的学费是他无法承担的一个天文数字，他只能转学到帕协阿帕学院。

然而转学院并不能改变他的状态，他的所有科目除了数学依然都是不及格。就这样，在四年大学生涯之后，他甚至没有一个文凭，不得不赋闲在家。不过在家的时候，他经常坐在房前，在石板上不停演算。这一时期的拉马努金独自遨游在数学世界里，除了继续证明那5000个方程，他还发现了很多其他公式，似乎每一个数字都是他的朋友。他感到前所未有的舒适，才智和身心都得到极大满足。有一天一个老朋友遇到他，就对他说：'人们称赞你有数学的天才！'拉马努金听了笑道：'天才？你看看我的臂肘吧！'他的臂肘的皮肤显得又黑又厚。他解释他日夜在石板上计算，用破布来擦掉石板上的字太花时间了，他每几分钟就用肘直接擦石板的字。朋友问他既然要作这么多计算为什么不用纸来写。拉马努金说他连吃饭都成问题，哪里有钱去买纸来算题呢！

1911年，拉马努金的第一篇论文'关于伯努利数的一些性质'发表在《印度数学会会刊》上，从此他开始了与数学界同行的正式交流。拉马努金在他的第二篇论文里发表了一系列共14条关于圆周率π的计算公式。由于印度当时的数学水平不高，国内几乎没有人能看懂拉马努金的研究成果。于是，拉马努金把他的研究成果寄给英国数学家，最初的两个数学家都未回音。1913年1月16日，他再次鼓起勇气写信给第三个数学家--剑桥大学教授哈代，随信寄去的包括一大堆他自己研究得出的数学公式和命题。由于没有证明的过程，有些连哈代也不大明白。哈代在咨询了另一个英国数学家、他的合作伙伴李特尔伍德之后，认定拉马努金是一个难得的数学天才。拉马努金多少有些运气，哈代的慧眼识金，使得拉马努金能够在1914年进入剑桥大学。这则动人故事如今已成为数学史乃至科学史上的传奇故事之一，同时作为两个人学术生涯的转折点--拉马努金因哈代而崭露头角，哈代因拉马努金而增光溢彩。由于拉马努金的数学完全是自学的，他对现代学术意义上的严谨一无所知，在某种程度上他不知道什么叫证明，于是哈代就向他演示如何写出严谨的数学证明。在5年里，他们共同发表了28篇重要论文。哈代曾将这段经历描述为'我一生中最浪漫的事件'。因为在数学上的卓越成就，拉马努金31岁就当选为英国皇家学会的外籍会员（亚洲第一人）以及剑桥大学三一学院的院士（印度第一人），走到了他的荣誉最高峰。

托马斯·哈代

拉马努金在英国生活的那段时间由于作息并不规律，而且也难以适应英国寒冷的天气，他得了肺结核，住院了。有一次，哈代来看他的时候，抱怨所乘的出租车号是1729，不知道是不是不吉利的数字。拉马努金的第一反应是：这是最小的一个能同时被两组立方数相加的数字，1729=1^3+12^3=9^3+10^3。拉马努金对于数字总是有一种不可思议的直觉。

1919年，他回到了印度，但是他生活的并不愉快，而且病情也越来越严重。到了1920年，拉马努金在马德拉斯病逝，享年32岁。他身后留下了一份使人着魔的、深奥的数学遗产，其中包含了大量没有证明的公式和命题。许多数学家都致力于这方面的研究，一直到1997年，才总算是完成了其中的一部分，并整理成5大卷出版。

拉马努金的数学贡献为现代数学家从事数学研究提供了很好的史料，对现代数学的发展也产生了难以估量的影响。他在堆垒数论特别是整数分拆方面做出了重要贡献，在椭圆函数、超几何函数、发散级数等领域也有不少成果。他有着很强的直觉洞察力，虽未受过严格数学训练，却能独立发现了近3900个数学公式和命题。他经常宣称在梦中娜玛卡尔女神给其启示，早晨醒来就能写下不少数学公式和命题。他所预见的数学命题，日后有许多得到了证实。如比利时数学家德利涅于1973年证明了拉马努金1916年提出的一个猜想，并因此获得了1978年的菲尔兹奖。

除了在纯粹数学方面做出卓越的成就以外，拉马努金的理论还得到了广泛的应用。他发现的好几个定理在包括粒子物理、统计力学、计算机科学、密码技术和空间技术等不同领域起着相当重要的作用，甚至晶体和塑料的研制也受到他创立的整数分拆理论的启发，而他在黎曼ζ函数方面的研究成果，现在已经与齿轮技术的进步挂上了钩，还被用于测温学及冶金高炉的优化。他生命中的最后一项成果--模仿θ函数有力地推动了用孤立波理论来研究癌细胞的恶化和扩散以及海啸的运动；最近有专家认为，这一函数很可能被用来解释宇宙黑洞的部分奥秘，而令人吃惊的是，当拉马努金首次提出这种函数的时候，人们还不知道黑洞是什么。哈代曾感慨道：'我们学习数学，拉马努金则发现并创造了数学。'

由于拉马努金的传奇色彩，世界上有多种关于他的传记版本。其中包括麻省理工学院科学写作教授卡尼格尔1991年所著的《知无涯者：拉马努金传》。还有关于拉马努金的电影《天才》（Ramanujan），在一些网站上可以找到资源。