广东省阳江市第一中学周如钢§260随机变量的期望与方差(一)一、概念：二、作用(目的)：三、常用的公式及性质：1.期望：将随机事件“虚拟”成一确定事件体现了总体的平均水平(聚中性)2.方差：体现了总体的稳定性(波动性)1.期望：2.方差：随机事件分布列期望方差确定化④细化数化分布列①六大分布公式化③一选二算三列表②随机变量及其分布列概述求分布列的总思路繁(大)事件简(小)事件分类：互斥事件加法公式分步：独立事件乘法公式六大分布套公式陌生事件三步法③④①A+B=A∪B②AB=A∩B⑤=AB+ABA·BA·B=A+BA+B=A·B·CA+B+CA·B·C=A+B+CA、B中至少有一个发生A、B要同时发生A、B中恰好有一个发生A、B都不发生A、B不都发生A、B、C都不发生A、B、C不都发生常见事件的字母表示求分布列的三大步骤：一选二算三列表一选：根据题意灵活的选取随机变量所有可能的取值二算：根据题意灵活的计算各随机变量相应的概率化繁为简以小代大定义法复杂事件的概率简单事件的概率模拟试验法性质公式法古典概型几何概型统计定义计算概率常用的方法常用的概率公式法②乘法公式①加法公式③和积互补公式④对偶律注：若A，B互斥，则有注：若A，B独立，则有注：若A，B对立，则有，反之则不然随机变量千千万六大分布最常见均匀分布平等化两点分布论成败多次成败伯努利二项连续是正态成分两类超几何几何分布破天荒均匀分布Xx1x2x3x4…xnp…形如的分布列，称为均匀分布注：均匀分布是平等化概型随机变量千千万六大分布最常见均匀分布平等化两点分布论成败多次成败伯努利二项连续是正态成分两类超几何几何分布破天荒两点分布(0-1分布)p1-pP10ξ又称0-1分布称p为成功概率，称随机变量ξ服从两点分布注：两点分布是结果“一分为二(成败,非黑即白)”概型形如的分布列称为两点分布列随机变量千千万六大分布最常见均匀分布平等化两点分布论成败多次成败伯努利二项连续是正态成分两类超几何几何分布破天荒几何分布如果事件A每次发生的概率均为p，则事件A在第k次首次发生的概率为P(ξ＝k)＝(1－p)k-1p(k＝1,2,3，…)则称ξ服从几何分布，并记ξ～G(p)注2：几何分布是“破天荒”概型注1：几何分布的模型是放回抽样随机变量千千万六大分布最常见均匀分布平等化两点分布论成败多次成败伯努利二项连续是正态成分两类超几何几何分布破天荒超几何分布则即称该分布列称为超几何分布称随机变量X服从超几何分布.并记X～H(n,M,N)在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数①超几何分布是“结构一分为二(成分两大类)”概型②超几何分布的模型是不放回抽样注：元素属性两大类质量抽检是范例大N总数抽小n次品M含小k②①二项分布——独立重复n次，恰好发生k次的概率一、定义：参课本P：57二、常用的公式：①若，则②③注1：互不影响为独立概率相等即重复重复n次恰好k通项公式后项p注2：频率代概率总数一大批抽取要放回二项分布也随机变量千千万六大分布最常见均匀分布平等化两点分布论成败多次成败伯努利二项连续是正态成分两类超几何几何分布破天荒事件的独立性1.定义：3.判定：2.性质：若,则称事件A与事B相互独立A与B独立不能同时为互斥互斥特例为对立互不影响为独立一对独立全独立互斥独立不相干概率相等即重复若事件A与B相互独立，则事件也相互独立条件概率1.定义：3.求法：2.性质：②缩小样本空间法②如果B和C是两个互斥事件，那么①①定义法在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率并记为P(B|A).读作：A发生的条件下B发生的概率§260随机变量的期望与方差(一)一、概念：二、作用(目的)：三、常用的公式及性质：1.期望：将随机事件“虚拟”成一确定事件体现了总体的平均水平(聚中性)2.方差：体现了总体的稳定性(波动性)1.期望：2.方差：⑥若,则期望与方差常用的公式及性质①②③④⑤⑦若,则⑧若,则⑨若,则⑩若ξ,η相互独立，则X123456p(1)课本P：66例4解：易得X的分布列为练习1.定义法求期望与方差故X01234p0.10.20.40.20.1(2)已知随机变量X的分布列为求D(X)和σ(X)解：因故所以(3)(2013年上海)设非零常数d是等差数列的公差,随机变量ξ等可能地取值,则析：由题意得而故(4)若离散型随机变量X满足又E(X)=,D(X)=,则x1+x2=_____析：由题意得解得（舍）故x1+x2=3若η=2ξ+1，则E(η)=(5)已知随机变量ξ的分布列为A.1B.C.D.练习2.性质公式法求期望与方差法1：定义法……法2：性质公式法因故(6)若,且,则析：由题意得,即n=6故析：由题意得，即n=8故(7)若,且,则(8)若D(ξ)＝1，则D(ξ－D(ξ))＝________＝D(ξ)＝1析：D(ξ－D(ξ))＝D(ξ－1)(9)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验当p=________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________析：设成功次数为ξ，则ξ～B(100,p)故当p=时，有D(ξ)max=…=25欲使标准差最大，只需D(ξ)＝100p(1-p)最大即可即标准差的最大值为5(10)在10件产品中有2件次品，任意抽取3件,则抽到次品个数的数学期望的值是_______析：设抽到次品个数为ξ，则ξ服从超几何分布其中N=10，M=2，n=3,故练习3.形法估算期望与方差正态曲线是钟型指数二次组合体要求概率求面积左小右大总为1均值中众对称轴比较方差武大郎前数期望后方差平方去π同上母(11)如图是正态分布和对应的曲线,则【C】练习4.作用估算期望与方差……作业：预习：1.《固学案》P：20Ex22.《固学案》P：20Ex9继续研究随机变量的期望与方差3.若，且ξ+2η=1则D(η)=_____X 0 1 … m P …
k＝0,1,2…,m;m＝min{M，n}
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