空间作图问题——切割正方体

有一个正方体。用一个平面去截（切）它，平面会与正方体六个面中的某些面相交，从而得到一个多边形。视与多少个面相交的情况，这个多边形可能是三角形、四边形、五边形甚至是六边形。这个我曾经在本公众号中推送过一篇文章，很详细地介绍了各种可能情况，并使用了在透明正方体盒子中加入有色液体的方法进行了数学实验，直观展示出截面的形状，效果非常好。这个实验也是普通高中数学课程标准中对学生实践活动的要求。有兴趣的您可以点下面的标题，链接到我那篇文章：《

正方体中蕴藏着丰富的数学》，然后再回过头来阅读本篇内容。

我今天所讲也与平面截正方体有关，但不研究截面多边形的边数，而是给定正方体12条棱中某三条棱上的三个点，要求画出过这三个点的截面多边形。这是一道作图题。乍一看这个问题有些难度，但不用焦虑。我给你讲清楚，通俗易懂，保你学会。

 

先来看下面这个例子（这个例子是为下面更复杂的第二个例子做准备）：一个正方体，三个点X、Y、Z分别位于不同的三条棱上。如下图所示。

在讲解作图之前，必须说明：正方体共有六个面，相对两面互相平行，我在本文范围内把它们叫做左侧面、右侧面、前侧面、后侧面、上底面和下底面。文中我提到的“面”，就是指的这样的面。注意，为了方便，我们规定面的四条边也位于这个面上。比如上图中的X和Y就都位于右侧面上。

已经看到，两个点X和Y位于正方体六个正方形面中某个面（这里是右侧面）上。这种情况下问题变得简单了。先把这两个位于一个面上的点连成线段XY，它当然就是所要求作的截面多边形的一条边。那么，现在原作图问题就变为做过点Z和线段XY的平面，并画出它与正方体六个面可能有的交线。左右两个侧面平行，那么，过点X和线段XY的平面与左侧面的交线一定与XY平行（因为一平面与两平行平面相交，两交线一定平行），而过一点与一直线平行的直线只有一条。于是，所求作的截面多边形与左侧面交出来的边就可以确定了。具体作图过程是，过点Z做直线与XY平行，取这条直线位于左侧面上的那部分，它就是所要求作的多边形的一条边。如下图所示中的ZA。（注意：我们研究的是空间图形，而我们现在是在平面上（比如纸面上）作图。这样做是合理的，因为空间中两条平行线在平行射影变换下平行的性质不变。）

接下来，我们发现，点A和点X都位于同一个面上（前侧面）。所以，直接连接AX，则AX就是所求作的多边形的一条边。如下图所示。现在已经作出来三条边了。

接下来，我们要考虑该如果继续画下去。左、右侧面上已经画出了边，前侧面上也已经画出了边，所以可以考虑画后侧面上的交线了。我们试一下。观察上图，前侧面上有一条线段AX，后侧面上有一点Y，所以，我们可以过点Y做直线与AX平行，从而得到后侧面上位于四边形面上的那段线段：BY。如下图所示。

最后，连接点B和Z，得到线段BZ，它位于上底面上。最终，我们得到一个五边形截面XYBZA，如下图所示。（注意，所得截面不与下底面相交。）

只要开始时那三个点X、Y、Z是取定不变的，则过这三点的平面切割正方体后所得到的图形就一定是确定的。为了好看，我把五边形内部填充了颜色。

好的，我们给出了具体的步骤，也说明了每一步作图的合理性。

在进行下面讲解之前，需要做些准备。我们可以把正方体的共十二条棱分成三组：第一组为上底面的四条；第二组为中间垂直于底面的四条；第三组为下底面的四条。我们已经在上一例中学会了画三点中有两点位于一个面上的截面多边形。所以，如果三个点中没有两个点位于某个面上（这是可能的，下面马上分析），我们就必须还要学习画过这样三个点的截面多边形。我们具体分析一下这三个点可能的位置：如果上述分组中第一组中没有点，则必然在其他两组中有一组中有至少两个点，如果它们在下底面中，就成为上例的情况了，如果它们位于中间那组中，则这两个点必须位于相对的两条棱上才不至于同时位于同一个面上（这里所说的“面”是指六个正方形面中的某个面）。这时，不管第三个点位于第二组中还中位于第三组中，它都将与第二组中的那两个点中的某个点位于同一个面上。所以，最终可以说，第一组中必须有且只有一个点。这时，第二组中不能有另外两个点，只能有一个点，而第三个点必须在第三组中。这三组中的三个点的位置也需要适应调整，使它们每两点都不会位于同一个面上。下图是一种可能的情况。

那么如何画过这样三个点的截面多边形呢？是不是看似不太好画。但我们知道，过X、Y、Z三点的平面，一定包含过其中某两点的直线，具体来说，当然包含直线YZ。我们特别关注直线YZ，是因为Y和Z一高一低，过这两点的直线一定不会与下底面平行，即直线YZ必定与下底面相交。交点一旦做出，交点与点X都位于截平面上，它们又都在下底面所在平面上，于是，过交点与点X的直线就可以作出来了。从而下底面上就可以得到截面多边形的边。

具体步骤：

（1）作过点Y和Z的线段YZ。

（2）过点Z作Y所在棱的平行线，与下底面交于点Z'。再标记出点Y在下底面的投影Y'（正方体的一个顶点）。连接Z'Y'。其实，Z'Y'就是ZY在下底面所在平面上的投影。所以，延长ZY和Z'Y'，它们必相交于某一点，记为点P。则点P就是所求的直线ZY与下底面所在平面的交点。如下图所示。（上述求作点P的过程利用了“平面内两条不平行直线交于一点”这一性质。这里，因为一条直线（ZY）与一个平面（下底面所在平面）的交点不好确定，所以我们就想到了先作出ZY在下底面的投影，于是斜线与它的投影这两条当然位于一个平面上的直线的交点就容易作出来了。）

（3）作过点P和点X的直线PX，它与下底面的棱交于点A。则XA为所求作多边形截面中的一条边。如下图所示。

（4）作出点A之后，问题就变得简单了。下面就相当于做过X、A、Z三点的截面，而X和A在同一个面上，所以，这就归结为上面那个例子了。具体来说，过点Z作XA的平行线，与上底面的棱交于点B，连接ZB。再连接BY，连接AY。如下图所示。

（5）最后，过点Z作直线平行于AY，得到线段CZ。连接CX。最终得到六边形XAYBZC。

去掉多余辅助线，并把六边形填充颜色，最终的截面多边形就成为：

上面两个例子就把可能的情况都讲清楚了。你可以用数学软件GGB或几何画板试一试。先画个正方体，再任选三条棱，每棱上取一点。求作过这三个点的截面多边形。