平面向量数量积的几何意义

Hi老刘老师 2018-05-10

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摘要：本文着重利用几何意义理解平面向量的数量积（内积），在教材上原有的第一几何意义“投影”的基础上，创新引入数量积的第二几何意义“极化”。将泛函分析中的“极化恒等式”降至二维，从而研究天津高考数学中平面向量数量积的相关问题，具有相当的普适性。巧妙利用“数形结合”的方式，深刻理解向量的本质——“代数与几何的桥梁”。

关键词：投影；极化；几何意义；数形结合。

向量，既是高中数学的重点，也是线性代数的根基。对于这类数学核心的知识体系，天津高考自然格外重视。纵观历年天津卷高考，向量题目频出不厌，难度普遍较高。

平面向量的难点可以大致分为以下两类：第一类，平面向量基本定理相关问题；第二类，平面向量数量积相关问题。本文针对第二类问题进行分析。

平面向量的数量积涉及题型比较广泛，主流问题有“求值”和“求最值（求取值范围）”两种。本质来说，无论其中哪一种题型，难点之所在都归于“向量夹角”的影响。

由向量数量积的定义可知，两个向量的数量积与这两个向量的夹角有着密不可分的联系。平面向量的数量积是二维平面的内积运算，它不同于一般的线性运算。线性运算可以形象地理解为一维直线上的累加作用，与此不同的，向量的数量积则是一种空间上的累积作用，所以向量夹角的变化会影响这种累积的效果，从而影响数量积的数值。

由于夹角问题的存在，使得数量积的运算复杂许多。对于“求值”问题就会产生运算繁琐的问题，而对于“求最值”问题就会受到夹角变化的影响，不容易寻找取得最值的条件。

笔者注意到：“两个向量的数量积是一个数量”，这是代数层面的理解。我们将其转化到几何层面，那么平面向量数量积的运算在几何意义上可以理解为一种“降维”的过程。其实，教材中就有现成的模型——投影。

一平面向量数量积的第一几何意义——投影

小结1.：由以上三道例题，我们可以适当总结利用投影解决“求值”问题的方法：第一，题目往往以平面几何模型作为背景，并且有较明显的“几何特征”（规则）；第二，通常要把方向不“规则”的向量，向具有明显“几何特征”的三角形（如直角、等边三角形）的边做投影；第三，做投影后往往要构造出相似三角形，再运用平面几何的知识求解。

小结3：利用坐标方法可以迅速地找到动向量的“踪迹”，能够直观地在图上表示出来，助力题目分析，一定程度上揭示了投影这一几何意义的本质——垂线。

以上列举了平面向量数量积的第一几何意义——投影的三种表现形式。分别对“求值”和“求最值”这两类问题进行深入剖析，并利用“坐标轨迹”的思想揭示了投影的本质。近几年天津高考与模拟题中的类型题例，也充分显示，投影在处理平面向量数量积的问题上，无疑是个系统完备，能够有效地“规避”夹角的优选方法。

然而，深入研究不难注意到，无论是“求值”、“求最值”问题，还是“轨迹”问题，使用投影的前提条件都要“拥有一个‘定’的向量（或是一个具有明显‘几何特征’的向量）”。

这是因为，投影具有方向性。如果两个向量都是变化的，我们就无法构造投影。于是，类似于两个向量均“不定”的问题，投影的方法将无法使用，而这类问题往往是平面向量数量积考察的真正难点所在。这也是第一几何意义的局限性。

笔者查阅文献，试图寻找解决这类难题的普适方法。于是，在高等数学的泛函分析中发现了“极化恒等式”，并将其降至二维平面，得到了平面向量形式的极化恒等式。笔者深入分析其几何意义，并挖掘其本质，发现这个恒等式也可以利用几何的理解巧妙地“规避”向量的夹角给分析造成的繁琐，与投影有着“异曲同工”之妙。于是，笔者为了完善利用几何意义解决平面向量数量积问题的结构体系，尝试建立了一个与投影类似的新模型，即平面向量的第二几何意义——极化。

二平面向量数量积的第二几何意义——极化