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一．随机现象的数学描述 客观世界中所发生的各种现象，可以划分为两种截然不同的形式。其一是确定性形式，即人们知道某事物开始的原因后就可以明确的预知它的结果。在数学史上，17世纪以前的数学都是研究这种确定性的形式，人们也称之为必然性研究的数学。其二是随机性形式，即人们不能确定某些现象是否会出现，人们称之随机现象。 17世纪以前，在当时人么数学思维的范围之内还无法对随机现象给出一种确切的表述。但是，作为现实世界存在的问题，随机现象却广泛地存在着。 随机现象是这样一类现象：在一定地条件下可能出现某种结果，也可能不出现这种结果。这样的结果，叫做随机事件。在随机事件中，因果关系不存在着确定性的必然联系。例如，投掷一枚硬币，它在落地时可能出现正面向上，也可能出现反面向上。 在确定的现象中，只要条件具备，某种结果就必然发生。对这种条件与结果之间的必然性联系，确定性的数学给出了比较完善的描述。例如微分方程在定量描述某种确定现象的运动和变化时，只要建立起微分方程，给定问题的初始条件，就可以通过求解微分方程预知在未来某时刻的运动状态。 显然在随机现象中，确定性的数学无法表述条件与结果之间那种非必然性联系。当你投掷一枚质量均匀的硬币时，要想预先计算落地后哪一面朝上是不可能的。 虽然对于随机现象，表面上是没有规律可循的，但是认真研究起来，就会发现当同类随机现象大量重复出现时，人们就会发现某种规律性。例如，你投掷一次硬币时，正面或反面出现是毫无规律的，但是当你多次重复地投掷一枚质量均匀地硬币时，就会出现正面的次数与总投掷数之比总是在1/2左右摆动，而且随着投掷次数的增加，这个比率越来越接近1/2。 在物理学中，在一个充有气体分子的容器中，单个分子的运动速度和方向是随机的，每个分子对器壁的压力也是随机的。但是，大量气体分子的运动对器壁的压力在总体上却呈现出一种规律性。同样，火灾，保险等事件中，每个事件的发生都是随机的，但从大量的长时间的数据统计中就会发现它们呈现出一些规律性。 大量的同类现象所呈现出来的这种规律性，使人们获得了一种数学可能，即从这种大量出现的随机想象的统计规律来推断整个对象系统具有的性质和特征。显然，这是一种不同于以往的数学思维方式，由此产生了一门新的数学分支------概率论。 二．概率论的数学思维方法 随机现象的研究有它深远的历史原因，欧洲文艺复兴之后伴随工业发展提出误差问题，伴随着航海事业发展产生天气预报问题，伴随着商业发展产生贸易，股票，彩票以及银行业，保险业方面的问题等，人们急需一门分析随机现象的科学学科。但是由于随机现象的研究与以往数学思维的研究对象，研究方法的巨大差异，使当时的数学理论很难派上用场。然而，随机现象的研究却借助于博彩问题中的概率模型逐渐发展起来了。 数学史上把1654年数学家帕斯卡和费马通信研究的赌博问题看作是概率论最早的文献。其中最有名的“赌注分配问题”，给出了概率论中有关随机现象的最初的数学表述。 作为推动随机现象研究发展的最大社会动力来源于社会保险业的需要。17世纪西方工业和商业的大发展，使社会保险业应运而生。因为保险公司需要知道各种突发意外事件如水灾，火灾，意外死亡等出现的概率，以便确定自己的理赔金额和保险金额。由于概率的思想与方法在保险理论，人口统计，财政预算，产品抽样检验中有着广泛的应用，于是这个有赌博问题开始的有关随机现象问题的数学研究，迅速发展成为一门十分活跃的数学分支。 概率论发展的最重要的思想是如何认识在随机现象之后的统计规律性。以往的确定性的数学没有遇到过这一类问题，所以在概率论研究的开始阶段，人们把简单的随机现象对应于机会游戏的数学模型进行研究。但是随着对随机现象研究的深入，人们开始逐渐地认识到随机现象复杂地模型结构。经过许多数学家地努力，有关随机现象地研究取得了一系列地结果。 从19世纪末开始，随着生产和科学技术中概率问题的大量出现，概率论得到迅速发展，并不断派生出一系列新的分支。早期概率中的概率计算主要使用排列组合的计算方法，并将得到的结果给予概率解释。1933年后，数学家提出了概率论公理化体系，使概率论植根于集合论，测度论和实变函数论中。目前，作为随机现象的研究已经具有众多的数学分支，并且都有着各自的数学理论。随着随机现象研究的不断发展，随机现象的数学思维及其方法在自然科学和社会科学中的应用越来越广泛。 三．偶然性与必然性的数学思维 概率论出现之前，数学研究的对象，数学表述的方式，都是确定意义上的数量关系和空间结构形式。因此有人认为，概率论之前数学的思维方式严格地自觉地限定在确定性地范畴之内。从这种意义上来说，概率论作为一种思维方法，是数学发展史的一种飞跃，因为它跨出了数学表述，计算，解释的确定性的领地。 事物间的关系，有必然性也有偶然性。以往的数学只研究必然性现象中的因果关系。而概率论却是从一种偶然现象------随机现象中来说明事物发展变化的规律。从数学思维方法的意义来分析，数学中的概率论是一种从数量上研究偶然性，从而在考察偶然性因素的变化和影响中，寻找表达必然性的，本质性数量关系的思维方式。 概率论作为揭示偶然性与必然性关系的一种数学分支，它的产生，发展自然就涉及人们对客观世界中必然规律与偶然现象的关系的理解。由于历史的原因，当时的人们对机械决定论的观念十分相信，因此他们只承认必然性，否定偶然性，这其中最有代表性的人物应属18世纪大数学家拉普拉斯。拉普拉斯是概率论发展的集大成者，他的著作《分析概率论》是概率论中继往开来的重要著作，这部著作总结了前人的工作和他自己四十年间的研究成果，对后世的概率论发展有着重大的影响。但是，拉普拉斯是一个机械决定论者，他认为世间万物的发展变化都是必然，前定的。偶然现象是人们认识不完全产生的，一旦认识全面，知识增强，一切偶然都将化为必然。拉普拉斯认为，概率从根本上并不反映事物的本质，是一种处理事件的近似工具而已。 可以认为，概率论的思维方式，大大地推进了人们对随机现象的认识，从而也推动了人们对必然规律和偶然现象的认识。必然性和偶然性是不可分开的，人们正是通过偶然性的变化趋势，变化规律来理解它的必然性的本质。 对于随机现象的研究而言，概率论提供的数学思维方式，在两个方面有着重要的意义。 第一，随机现象的研究，推动了原有的必然性数学理论的发展。因为随机性数学所使用的方法主要是确定性的数学方法，随机性数学研究内容的扩展和成功，也使确定性数学向随机化发展，随机微分方程，随机积分方程等陆续诞生。20世纪以来，快速发展的随机性数学，已被看作是数学史上重要的里程碑。 第二，随机现象的研究，对随机现象的数学描述，使人们对世界发展变化的客观规律有了深入的理解。无论是自然科学还是社会科学，人们对随机现象的偶然性特征的理解，已经超出了原有的思辨层次，进入到数学形式的定量描述。随机现象的数学研究，为自然科学提供了一种描述随机现象的数学工具，同时随机现象的数学描述为社会科学认识事物发展的规律提供了一种新的定量化思维方式。社会科学的许多现象都呈现随机性，如何在这种随机的偶然之中寻找其中的必然性的本质特征，如何在随机的偶然性之中分析事物未来的发展规律，这正是随机现象研究的思维方法对社会科学的重大贡献。 |
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