活用乘法公式进行计算的六种技巧

（今日推出适合七年级数学下册第8章《整式乘法与因式分解》的学习指导类文章，与现行的版本同步，敬请大家关注和分享！）

乘法公式是指平方差公式和完全平方公式，公式可以正用，也可以逆用．在使用公式时，要注意以下几点：(1)公式中的字母a，b可以是任意一个式子；(2)公式可以连续使用；(3)要掌握好公式中各项的关系及整个公式的结构特点；(4)在运用公式时要学会运用一些变形技巧。

【技巧一】巧用乘法公式的变形求式子的值

例1．已知(a＋b)²＝7，(a－b)²＝4.求a²＋b²和ab的值．

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【技巧二】巧用乘法公式进行简便运算

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【技巧三】巧用乘法公式解决整除问题

例4．对任意正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)是不是10的倍数？为什么？

解：对任意正整数n，整式(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)(3＋n)是10的倍数，理由如下：(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)(3＋n)＝(3n)²－1－(3²－n²)＝9n²－1－9＋n²＝10n²－10＝10(n²－1)．

∵对任意正整数n，10(n²－1)是10的倍数，

∴(3n＋1)·(3n－1)－(3－n)·(3＋n)是10的倍数．

【技巧四】应用乘法公式巧定个位数字

例5．试求(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)·…·(2³²＋1)＋1的个位数字．

解：(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)·…·(2³²＋1)＋1

＝(2－1)(2＋1)(2²＋1)(2⁴＋1)·…·(2³²＋1)＋1

＝(2²－1)(2²＋1)(2⁴＋1)·…·(2³²＋1)＋1

＝(2⁶⁴－1)＋1＝2⁶⁴＝(2⁴)¹⁶＝16¹⁶.

因此个位数字是6。

【技巧五】巧用乘法公式解决复杂问题(换元法)

【技巧六】巧用乘法公式解决实际问题（分类讨论思想）

例7．王老师在一次团体操队列队形设计中，先让全体队员排成一方阵(行与列的人数一样多的队形，且总人数不少于25人)，人数正好够用，然后再进行各种队形变化，其中一个队形需分为5人一组，手执彩带变换图形，在讨论分组方案时，有人说现在的队员人数按5人一组分将多出3人，你说这可能吗？

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解：总人数可能为(5n)²人，(5n＋1)²人，(5n＋2)²人，(5n＋3)²人，(5n＋4)²人．(n为正整数)21cnjy.com

(5n)²＝5n·5n；

(5n＋1)²＝25n²＋10n＋1＝5(5n²＋2n)＋1；

(5n＋2)²＝25n²＋20n＋4＝5(5n²＋4n)＋4；

(5n＋3)²＝25n²＋30n＋9＝5(5n²＋6n＋1)＋4；

(5n＋4)²＝25n²＋40n＋16＝5(5n²＋8n＋3)＋1.

由此可见，无论哪一种情况总人数按每组5人分，要么不多出人数，要么多出的人数只可能是1人或4人，不可能是3人．