高中数学：用函数思想解数列题

从函数观点看，数列是定义域为正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数，当自变量从小到大取值时相应的一列函数值。

1、利用周期性解题

例1、在数列{a_n}中，已知，则等于（    ）

A. -1

B. -5

C. 1

D. 5

解：因为

所以

两式相加，得

从而有

即{a_n}是周期为6的数列，所以

选A

 

2、利用单调性解题

例2、设，且n>1，求证

证明：令

则

于是

            

所以

即a_n是n的单调递增函数，其中n＝2，3，4，…

又

所以当n＝2，3，4，…时，都有

故

3、利用图象解题

例3、已知数列{a_n}的通项公式，则数列{a_n}的前30项中最大项与最小项分别为（    ）

A. a₁，a₁₀

B. a₁，a₉

C. a₁₀，a₃₀

D. a₁₀，a₉

解：因为，由图象，知选D。

 

4、分离参数解题

例4、已知a>0且a≠1，数列{a_n}是首项为a，公比为a的等比数列，设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围。

解：依题意，得，所以

于是

（1）当a>1时，

所以，故

当时，

所以

故

综上，得