其实很简单,我们找到两个相同的矩阵Q,它们一起睡觉,一个躺着睡(仰卧),一个翻转过来睡(俯卧),通过一晚上的成长,早上起来它们生出了一个简单又特殊的矩阵——单位矩阵(主对角线都是1,其余为0),因此就称Q为正交矩阵。 站在更高角度看,我们把n阶正交矩阵全体和矩阵乘法运算看成一个正交群,记作O(n)。如果这些正交矩阵的行列式恰好都是1,那就更特殊了(因为它们的娃单位矩阵行列式也是1,有种遗传性能的感觉),我们称之为特殊正交群,记作SO(n)。 下面我们举一个栗子,验证一下二维旋转矩阵是不是正交矩阵
这样就得到了结论:旋转矩阵就是正交矩阵。 模友们可以通过简单运算判断下面这个矩阵是否是正交矩阵(看看谁能最快算出来) 我相信,中国的最强大脑在这里! 那接下来,再从几何角度理解一下正交变换。 先给出一个大家非常熟悉的定义: 这段比较通俗的正交变换解释出自于在同济大学的《线性代数》教材上(如果想不起来那有可能上课睡过去了 正交变换就是一个保持内积的线性变换φ,它从V映到V,其中V为实内积空间。具体的,对任意向量u,v∈V,我们有(其中(u,v)表示内积)。 我们也知道,正交变换能保持三角形形状不变,这让超模君想到了正交变换中的平移和旋转变换。 确实!通过平移或旋转,不会改变三角形的形状。
那是因为它还有许多不变的性质,称之为忠心耿耿变换再好不过了。 点、线、面的全家福
多么漂亮优美的性质啊!试想一下,换成别的变换,哪怕是一个正方形,变换过去就“面目狰狞,六亲不认”了。 如果登场的是一个出身不菲的大佬…… 怪形
最强大脑现场 那么通过正交变换后,这个图形的形状和大小会改变吗?
好了,超模君要问一个问题了,原来的怪形,通过正交变换,形状也会不变吗? 最后来说说正交变换(矩阵)的应用。计算机中使用的软件工具无不离开强大的数学原理,图像处理也不例外,这在之前的特征向量文章中就有提及过。 用矩阵表示图像,构造正交均值差分变换矩阵,通过矩阵的乘法对原始图像进行正交变换,进一步取阈值,我们只存储绝对值大于阈值的系数(删去矩阵上一些系数),来实现数据图像的压缩。我们来看一组图片: 小猫原始图像及不同阈值下的解码图像 可以看到,虽然猫越来越模糊,但仍然不失真,不会把猫变成一只狗,通过最后一幅图片我们还是可以辨别它就是猫。
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