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在进行有限元数值分析时有时候会遇到计算结果与理论分析不一致，或者计算结果不合理的情况，虽然也选择了合理的单元类型和材料本构模型，但得到的结果却就是无法解释，这时候可能就需要考虑所选用的单元插值函数是否合理了。这里来解释一下有限元数值分析中剪切锁定出现的原理及处理方法。 一、剪切锁定的概念 图4 对上述不同有限元网格模型进行分析，采用PLANE182单元默认的积分方式，得到梁中间下面结点的竖直向位移如表1所示，表中ndivX为水平向剖分单元份数，ndivY为梁厚度方向剖分的单元份数。从表中可以看出，只有当梁采用非常密的网格时才能得到与理论解比较接近的值。这说明：1、对这种细长结构，采用实体单元进行离散是非常不经济的，而采用线性形状的梁单元只需要很少的单元就能够得到精确的结果；2、当单元比较少时，由于出现的剪切锁定现象导致计算结果偏小，这是由于剪切锁定消耗了一定的剪切能量，弯曲变形就小了。 表1 通过上面的分析，我们可以看出在用有限元进行分析时，剪切锁定现象的确是存在的。如果我们不去很好的分析结构受力情况，而只是按照教程一步一步的做，然后把这个过程套用到其它研究分析中，可能也计算得到了结果，但很有可能结果就是错误的。因此，一个问题就来了，那剪切锁定现象究竟在什么时候才会存在？通常情况下，所分析问题中是否会有剪力锁闭现象，大概与两个方面有关：一是单元形状有关，当离散后的单元长比与短边之比越大，单元越狭长，就越可能出现剪力锁闭；二是与单元受力有关，在前面一个条件满足时，当单元再承受垂直与长边的荷载（如上面的梁承受法向荷载），使单元的变形以弯曲变形为主，这时出现剪切锁定的可能性就大。如上面的分析中，水平方向分10份时，由于单元都比较狭长，因此，由于剪切锁定的存在导致结果都失真；当水平方向分50份时，单元形状接近正方形，不再是狭长单元，计算结果就接近真值。 三、消除剪切锁定现象的方法 那么，当单元形状和所受荷载不可避免剪力锁闭时，有没有好的解决办法？当然是有的，现在很多商业软件如ANSYS、ADINA、ABAQUS等都提供了相应的解决方法，大体上有两种，一是采用积分减缩，二是采用强化应变单元模式。这里以ANSYS来介绍一下几种方法。 3.1采用减缩积分来消除剪切锁定 用常规的线性实体单元，软件默认采用全积分格式，即在每一个方向存在两个高斯积分点，这样两点确定一条直线，在单元变形后每条边仍然是直线，就可能造成剪切锁定。如果对同一个单元只采用一个积分点，是不是就可以避免剪切锁定？这或许是可能的，但一个高斯积分点会不会降低计算精度呢？通过计算分析来说明，仍然采用上面的分析模型，同样的计算网格。单元类型仍然取PLANE182号平面四结点等参单元，只是单元特性中将K2选项参数做些修改，改为Reduced 图5 通过分析的结果如表2中减缩积分一列数值。从表2中可以看到，减缩积分模式下ANSYS的计算结果与理论解判别还是挺大，这个仅是针对本算例的结果，ANSYS帮助手册及其它理论文献中也都讲减缩积分对消除剪切锁定是有帮助的。ABAQUS入门手册中也给出了相应的分析数值，减缩积分后与理论解非常接近。 表2 这里值得一提的是当梁厚度方向只有一层单元时，减缩积分的结果居然出现63.36cm的值，完全失真。这是为什么？这是因为减缩积分会导致另外一个奇怪的现象，就是传说中的沙漏现象（hourglassing）。再次考虑受弯单元减缩积分时的变形情况，如图6所示。单元由于采用了减缩积分模式，只有一个高斯积分点，通过单元高斯积分点的水平和垂直两条线代表了单元变形后的情况。在单元弯曲变形之后，由于两条线长度没变，相互之间的夹角也没有变，这就是说即没有产生正应变，也没有剪应变，因此，应变能为0，单元的弯曲变形成为一个零能量模式。这种单元模式下没有刚度，不能够抵抗变形。当网格比较粗时，如上面的只有一层单元，就会产生一个无意义的结果（从理论上讲，由于沙漏现象的出现，完全没有刚度是无法计算的，但商业软件都采用了一些技术手段保证能有一个计算结果）。 当然，商业软件在处理这种没有刚度的减缩积分单元时会采取一些技术手段，如引入少量的人工“沙漏刚度”，让其限制沙漏模式的扩展。但是，即便如此，如果单元数量不够多的话，这种限制沙漏模式扩展的作用也不大，仍然会出现不理想的结果。只有当单元数量达到一定量后，才会起到明显的作用。 图6 受弯单元减缩积分时的变形 3.2采用强化应变单元模式（非协调单元）来消除剪切锁定 虽然减缩积分可以在一定程度上消除剪切锁定现象，但有时候效果不佳，有时候还会出现沙漏现象。这里再来介绍另外一种方法，就是强化应变单元模式（enhanced strain），也称为非协调单元。常规的线性单元位移沿一个方向是线性变化的，应变沿一个方向是常量，这就导致当单元受弯曲变形时容易出现剪切锁定。那么，如果采取某种方式让应变沿一个呈线性变化是不是就可以解决剪切锁定？是的，的确如此（二次单元剪切锁定就比较难出现，采用二次单元也是消除剪切锁定的方法之一）。基于这种思路，就有人提出了强化应变的概念，在单元位移模式上做文章，通过增加一些虚拟的附加自由度，让单元内部应变模式为线性变化，如图7所示。由于这种增加变形梯度完全是在单元内部，与单元节点无关，因此，即不增加求解结构的整体自由度数，也可以保证在边界上位移仍然是连续的。
在ANSYS中平面的PLANE182、三维的SOLID185等单元都是支持强化应变模式的，是通过修改单元的选项值来实现的。对本算例，采用PLANE182单元，通过修改其K3选项值为2来实现，如图5所示。计算结果如表2最后一列的强化应变单元。从表2中的结果可以看出，采用强化变形模式后有限元数值分析的结果与理论解非常接近，这说明强化应变单元的效果非常不错。 当然，强化应变单元也有它本身的限制和弱点，比如当单元形状比较畸形时计算结果会非常差，这里所说的畸形是指单元每条相邻两条线的夹角如果太大或太小，就可能导致非常不好的结果；若相邻两条边的夹角接近90度，则是采用强化应变单元，那是再好不过的。 3.3采用高次单元消除剪切锁定现象 通过前面的分析，知道了剪切锁定产生的本质原因是由于以弯曲变形为主要变形的结构在用有限元分析时，由于采用线性单元离散，在边界上仍然是线性变形。那么增加单元的形函数阶次，就可以在一定程度上消除剪切锁定现象。这当然是可以的，但问题就是由于单元节点增加，计算工作量就提高不少。 四、结语 剪切锁定是否会产生，与结构受力、单元形状、单元模式选取等多因素相关，当剪切锁定不可避免时，可以采用减缩积分、强化应变单元、高次单元等方法去尽可能的消除这种现象，但也要了解每一种方法的适用范围、优缺点等，选取合适、正确的方法去进行分析，只有这样，才能得到合理的计算结果。 附本分析中用到的ANSYS命令流 finish len=1.0 mp,dens,1,density ET, 1, plane182,0,,0 rect,0,len,0,h lsel,s,loc,x,0.1,len-0.1 mshape,0,2d /pnum,mat,1 save /solu allsel,all save /post1  |
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