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师者，所以传道、授业、解惑也。 为什么首先要传道？ 因为道是本源，万事皆由此源流出，万物皆由此本统率。 找到本源便可把一切事物联系起来，从而把握事物变化之中不变的规律。 不求本源而求末流即所谓本末倒置，则事倍功半，难以窥大道，见真理。 数学解题教学中若只一味分别许多繁复的类型，一味总结诸多杂乱的套路，而不去究其本质求其联系，就会导致眼花缭乱食多不化。 所有的套路技巧都是小术，它们可以有，但要求其本源以归于大道。小术繁多复杂，大道至简至易，犹如万千细流归于江河。 师者重在传道，学者重在悟道，同学们在解决具体问题时，要善于脱去表象的外衣，洞见内在的数学本质，很多问题外在的情境和形式虽千变万化，但其数学关系的本质及所用的思想方法往往为一。 例1.下面的问题虽形式不同，但其数学关系相同。 （1）n个人参加宴会，每2人要握1次手，问共握手多少次？ （2）从n张不同的纸牌中任选2张，共有多少种不同的选法？ （3）n支球队参加比赛，每2队要比赛一场，共赛多少场？ （4）直线上有n个点，共构成多少条线段？ （5）平面内有n个点，最多构成多少条直线？ （6）平面内有n条直线，最多有多少个交点？ （7）如图，由一点引n条射线，共可构成多少个角？ （8）如图，AB上共有n个点，图中共有多少个三角形？ （9）按如下方式排列圆点，排(n-1)行共需多少个圆点？ （10）n边形共有多少条对角线？ 上述问题中，无论是1个人、1张牌、1支球队、1个点、1条直线、1条射线，还是1次握手、1种选牌、1场比赛、1条线段、1条直线、1个交点、1个角、1个三角形、1个圆点，它们在数学关系上都是等价的。2个人握手1次就相当于2支球队比赛1场或2张牌构成1个组合或2个点构成1条直线或2条射线组成1个角。 可以这么想，让n个人每个人都出来与其他(n-1)人握手，共握手n(n-1)次，这时每两个人都握手2次，因为A出来与B握手1次，B出来又与A握1次，所以总次数应为n(n-1)/2。 第（9）问与前面问题有什么联系？ 第1行1个圆点代表2个人握手1次；第2行2个点，表示第3个人来了，他与前2人要握手2次；第3行3个点，表示第4个人与前3人握手3次……，得1+2+3+……+(n-1)=n(n-1)/2。 用ABCDE……n个点组成线段： AB CA CB DA DB DC EA EB EC ED …… 线段共有1+2+3+……+(n-1)=n(n-1)/2条。 这里，等差数列的求和公式与图形计数、排列组合完美统一。 注意第（8）问的三角形个数直接看AB上有多少条线段即可，因为每条线段都可以与顶点C组成1个三角形；或者直接看点C处共有多少个角，因为每个角都可以对应下面一条线段组成三角形。 第（10）问先求平面内n个点共组成多少线段：n(n-1)/2；再减去不是对角线的线段即多边形的n条边得n(n-1)/2-n=n(n-3)/2。或换个方式看，其中1个顶点可与除自身及相邻2点外的其它(n-3)个点组成(n-3)条对角线，因每1条对角线算了2次，再除以2即可，直接得n(n-3)/2。 例2.线段最值问题一般都归结为“线段最短”或“垂线段最短”。（利用函数关系除外） （1）已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。 由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得） （2）已知⊙M半径为R，⊙N半径为r，MN=d，P是⊙M上一点，Q是⊙N上一点，求PQ的最大值和最小值。 由“两点之间，线段最短”得PQ≤PM+MN+QN，MN≤PM+PQ+QN，得d-R-r≤PQ≤d+R+r，AP最小时点P、Q在A、B处，最大时点P、Q在C、D处。 （3）已知⊙O半径为r，直线l到圆心O的距离AO=d，P是⊙O上一点，Q是直线l上一点，且PQ⊥l，求PQ的最大值和最小值。 由“垂线段最短”得AO≤PQ+PO，PQ≤PO+AO，得d-r≤PQ≤d+r，PQ最小时点P在B处，最大时点P在C处。 我们从“点到点”线段最短，“点到线”垂线段最短，推出“点到圆”、“线到圆”、“圆到圆”的最短路径，因此“点到点”、“点到线”的最短路径是最基本的原理，其它问题都可以由此生发。 （4）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是AC、AB上的点，DE＝2√2，以DE为边向外作正方形DEFG，则AF的最大值为 。 分析：DE的长一定，∠BAC=45°一定，知动点A在以DE为弦的圆上，因此转化为定点F到圆上各点的最长路径，当AF过圆心时（或A点位于FO与圆的交点）AF最长为FO+AO。 （5）再看经典问题“将军饮马”，一位将军在A处巡视，欲到小河l饮马后回大营B处，问他在何处饮马路程最短。 分析：此题做法很多同学都知道，具体做法其实不重要，重要的是我们第一次面对这个陌生问题时，应该如何进行思考？如何找到正确的做法？ ①由“两点之间，线段最短”我们知道若P点在线段AB上，则PA+PB最小。 ②直线l不在AB之间，考虑如何能够把直线l置于A、B之间，且保证PA+PB的长度保持不变。 ③把B（或A）沿直线l翻折至B'，由对称的性质可保证PB'＝PB，此时显然P、A、B'共线时，PA+PB'最小，问题得解。
（6）如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、⊙A、⊙B上的动点，则PE+PF的最小值为 。
分析：本题的思维方式和第（5）题“将军饮马”问题本质上是一样的，只不过“将军饮马”是“点到点”，本题是“圆到圆”，圆与圆的最短路径是过两圆心的直线与圆的交点之间的线段。上题中，A、B的连线与动点所在直线l没有交点，因此需要翻折其中一个点，以使A、B两点位于直线l的异侧；同样的，因为CD位于两圆心的同侧，导致过⊙A、⊙B圆心的直线与CD不相交，因此需要翻折其中一个圆，以使⊙A、⊙B位于CD的异侧，从而出现连心线与CD相交。 如下图，通过翻折把PE+PF转化为PE+PF'，问题转化为“圆到圆”的最短路径问题，连接圆心AB与CD交于D点，与两圆交于E、F'，EF'的长即为最小值。
（7）如图，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距离AH＝2√3，AB＝2√19，从B点出发经公路在P处转弯行驶至A处，在公路BC上行驶的速度是在沙漠里行驶速度的2倍，求从B至A怎样行驶能最快到达，并求此时的行驶路程。
分析：BP段行驶速度是AP段的2倍，要求时间最短即求BP/2+AP最小，从而考虑BP/2如何转化，可以构造含30°角利用三角函数关系把BP/2转化为另一条线段。如下图，作∠CBD=30°，PQ⊥BD，得PQ=1/2BP，由“垂线段最短”知当A、P、Q共线时AP+PQ＝AQ‘最小。
可见，本题也是通过构造图形把BP/2+AP转化为“点到线”的路径：PQ+AP，与“将军饮马”有异曲同工之妙。 总结例2的几个问题，从本源视角来看，它们的实质只是运用了2个基本模型：“点到点”线段最短，“点到线”垂线段最短；一种变换方式：翻折（原理是改变图形位置而不改变对应线段的长度）。 （8）如图，点A、B位于直线l两侧，在直线l上求作一点P使直线l平分∠APB。
如何寻找作图方法？ 作图的基本原理是“两线相交确定一个点”，“两点确定一条线”。 假设符合要求的图形画好如下图，确定一个点应先确定两条线，首先直线l已确定一条线，再确定直线AP的位置即可，但直线AP上只有点A是确定的，你能找出直线AP还经过哪个点吗？
显然，当直线l平分∠APB时，B点关于直线l的对称点一定在直线AP上，这样只要把B点的对称点确定就能确定直线AP，直线AP与直线l的交点即为点P的位置。
（9）如图，AB、BC是两块互相垂直的平面镜，从点M处射出一条光线，经AB反射到BC上再次反射经过点N，作出光线反射图。
分析：假设满足条件的图形已画好如下，我们来反推一下，P、Q是要求作的点，当P、Q所在直线确定时就可以确定点P、Q，从而寻求直线PQ上能不能找到确定的两个点。
延长PQ观察，根据反射规律∠APM＝∠BPQ＝∠APC、∠NQC＝∠PQB＝∠CQD，由角的对称性知M、N分别关于AB、BC的对称点一定在直线PQ上。
于是分别作M、N关于AB、BC的对称点M'、N'，过M'、N'作直线与AB、BC的交点即为所求的P、Q点。
以上（8）（9）两例与（5）（6）两题构造方法及思路是一致的，（5）（6）是利用翻折改变图形位置、构造等线；（8）（9）是利用翻折改变图形位置、构造等角。只要我们对轴对称（翻折变换）的相关概念、性质及构造方法理解透彻，便可以举一反三、灵活运用了。 追本溯源方可融会贯通，以道驭术自能化繁为简，同学们学习和解题时做到这一点，就不会迷失在层出不穷的技巧和套路之中，弄得眼花缭乱无所适从。 学习应该越学越简单、越学越清晰，越学越自由，而不是相反。
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