几何综合
东城区27.已知△ABC中，AD是的平分线，且AD=AB，过点C作AD的垂线，交AD
的延长线于点H．
（1）如图1，若
①直接写出和的度数；
②若AB=2，求AC和AH的长；
（2）如图2，用等式表示线段AH与AB+AC之间的数量关系，并证明．
7.（1）①，；--------------------2分
②作DE⊥AC交AC于点E.
Rt△ADE中，由，AD=2可得DE=1，AE.
Rt△CDE中，由，DE=1，可得EC=1.
∴AC.
Rt△ACH中，由，可得AH；--------------4分
（2）线段AH与AB+AC之间的数量关系：2AH=AB+AC
证明：延长AB和CH交于点F，取BF中点G，连接GH.
易证△ACH≌△AFH.
∴,.
∴.
∵，
∴.
∴.
∴.
∴.--------------7分
西城区27．正方形的边长为，将射线绕点顺时针旋转，所得射线与线段交于点，作于点，点与点关于直线对称，连接．
（1）如图，当时，
依题意补全图．
用等式表示与之间的数量关系：__________．
（2）当时，探究与之间的数量关系并加以证明．
（3）当时，若边的中点为，直接写出线段长的最大值．
【解析】（1）补全的图形如图所示：
．
（2），
连接，
，
，
，
，
，
，
．
（3），
点在以为直径的圆上，
．
区27．如图，已知，点为射线上的一个动点，过点作，交于点，点在内，且满足，.
（1）当时，求的长；
（2）在点的运动过程中，请判断是否存在一个定点，使得的值不变？并证明你的判断.
27．.解：
（1）作⊥交于.
∵⊥，，
∴.
∴.
∴.……………1分
∵,,
∴,.
∴.
∴.………………3分
（2）当点在射线上且满足时，的值不变，始终为1.理由如下：
………………4分
当点与点不重合时，延长到使得.
∵,
∴.
∴.
∵,是公共边,
∴≌.
∴.………………5分
作⊥于,⊥于.
∵，
∴.………………6分
∵⊥,⊥,⊥，
∴四边形为矩形.
∴.
∵,
∴.
∵⊥,
∴.
∴,即.
当点与点重合时，由上过程可知结论成立.……………7分
区27．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，过点C在△ABC外作射线CE，且∠BCE=，点B关于CE的对称点为点D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CE于点M，N.
（1）依题意补全图形；
（2）当=30°时，直接写出∠CMA的度数；
（3）当0°<<45°时，用等式表示线段AM，CN之间的数量关系，并证明．
27．解：（1）如图；…………………1分
（2）45°；…………………2分
（3）结论：AM=CN．…………………3分
证明：作AG⊥EC的延长线于点G．
∵点B与点D关于CE对称，
∴CE是BD的垂直平分线．
∴CB=CD．
∴∠1=∠2=．
∵CA=CB，∴CA=CD．∴∠3=∠CAD．
∵∠4=90°，
∴∠3=（180°∠ACD）=（180°90°）=45°．
∴∠5=∠2+∠3=+45°-=45°．…………………5分
∵∠4=90°，CE是BD的垂直平分线，
∴∠1+∠7=90°，∠1+∠6=90°．
∴∠6=∠7．
∵AG⊥EC，
∴∠G=90°=∠8．
∴在△BCN和△CAG中，
∠8=∠G，
∠7=∠6，
BC=CA，
∴△BCN≌△CAG．
∴CN=AG．
∵Rt△AMG中，∠G=90°，∠5=45°，
∴AM=AG．
∴AM=CN．…………………7分
（其他证法相应给分.）
石景山区27．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1；
（2）①连接，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：；②若点P，Q，C恰好在同一条直线上，则BP与AB的数量关系为：．
27．（1）补全图形如图1.…………………1分
（2）①证明：
连接，如图2，
∵线段绕点顺时针旋转90°得到线段，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴，．
∴．
∴△≌△．…………………3分
∴，．
∵在中，，
∴．
∵在中，，
又∵，，
∴．…………………5分
②．…………………7分
证明：过点A作AE⊥PQ于E，连接BEAC∴AE是△PAQ的垂线∵三△PAQ是等腰直角三角形（已证）∴AE是等腰直角三角形PAQ的垂线，角平分线∴∠AEP=90°AE=PE∵正方形ABCD∴∠ABC=90°∠ACB=∠BAC=45°∠AEP+∠ABC=180°∴A，B，C，E四点共圆∴∠AEB=∠ACB=45°∠CEB=∠BAC=45°∴∠AEB=∠CEB=45°∵BE=BE∴△ABE≌△PBE(SAS)∴BP=AB
朝阳区
27.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点，不重合），
连接，
（1）
（）若，求的大小（用含的式子表示）；
（）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
27.（1）补全图形
……………………………………1分
（2）0°.
∴∠FCG=∠ACE=α.
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴∠DAC=∠BAC=30°.……………………………………………2分
∴∠AGC=30°.
∴∠AFC=α+30°.…………………………3分
（3）用等式表示线段与之间的数量关系.
证明：作CH⊥AG于点H.
由（2）可知∠BAC=∠DAC=∠AGC=30°.
∴CA=CG.…………………………………………………5分
∴HG=AG.
∵∠ACE=∠GCF，∠CAE=∠CGF，
∴△ACE≌△GCF.……………………………6分
∴AE=FG.
在Rt△HCG中，
∴AG=CG.…………………………………………7分
即AF+AE=CG.
燕山区的顶点为M，直线y=m与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶．
(1)由定义知，取AB中点N，连结MN，MN与AB的关系是
(2)抛物线对应的准蝶形必经过B(m，m),则m=，对应的碟宽AB是
(3)抛物线对应的碟宽在x轴上，且AB=6.
①求抛物线的解析式；
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P（，），使得∠APB
为锐角，若有，请求出的取值范围.若没有，请说明理由.
,
备用图
27.解：(1)MN与AB的关系是MN⊥AB，MN=AB
…………………………………2′
（2）m=2对应的碟宽是4
…………………………………4′
(3)①由已知，抛物线必过（3，0），代入
得，
∴抛物线的解析式是
…………………………………5′
②由①知，的对称轴上P（0，3），P（0，-3）时，∠APB为直角，
∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P，使得∠APB为锐角，
的取值范围是…………………………………7′
门头沟区
27.如图，在△ABC中，AB=AC，，点D是BC的中点，，.
（1）_________°；（用含的式子表示）
（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转，与AC边交于点N．
①根据条件补全图形；
②写出DM与DN的数量关系并证明；
③用等式表示线段之间的数量关系，
的锐角三角函数表示）并写出解题思路.
27．（本小题满分7分）
（1）……………………………………………1分
（2）①补全图形正确……………………………………2分
②数量关系：…………………………………3分
∵
∴DA平分
∵，
∴，……………………4分
∵
∴
∵
∴
∴……………………5分
∴
③数量关系：……………………6分
证明思路：
a.由可得
b.由可得,进而通过,可得
进而得到
c.过可得,最终得到……………7分
大兴区27．如图，在等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，
F是AB边上一点，作射线CF，
过点B作BG⊥CF于点G，连接AG．
（1）求证：∠ABG=∠ACF；
（2）用等式表示线段CG，AG，BG之间
的等量关系，并证明．
27.（1）证明?:
∵∠CAB=90°.
∵BG⊥CF于点G，
∴∠BGF=∠CAB=90°.
∵∠GFB=∠CFA.………………………………………………1分
∴∠ABG=∠ACF.………………………………………………2分
（2）CG=AG+BG.…………………………………………………3分
证明：在CG上截取CH=BG，连接AH，…………………………4分
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，AB=AC.
∵∠ABG=∠ACH.
∴△ABG≌△ACH.……………………………………………………5分
∴AG=AH,∠GAB=∠HAC.
∴∠GAH=90°.
∴.
∴GH=AG.………………………………………………………6分
∴CG=CH+GH=AG+BG.………………………………………7分
平谷区
27．在△ABC中，AB=AC，CD⊥BC于点C，交∠ABC的平分线于点D，AE平分∠BAC交BD于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，连接DF．
（1）补全图1；
（2）如图1，当∠BAC=90°时，
①求证：BE=DE；
②写出判断DF与AB的位置关系的思路（不用写出证明过程）；
（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF，AE的关系．
27．
（2）①延长AE，交BC于点H． 2
∵AB=AC，AE平分∠BAC，
∴AH⊥BC于H，BH=HC．
∵CD⊥BC于点C，
∴BE=DE． 3
②延长FE，交AB于点G．
由AB=AC，得∠ABC=∠ACB．
由EF∥BC，得∠AGF=∠AFG．
得AG=AF．
由等腰三角形三线合一得GE=EF． 4
由∠GEB=∠FED，可证△BEG≌△DEF．
可得∠ABE=∠FDE． 5
从而可证得DF∥AB． 6
（3）． 7
怀柔区
27.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D是BC上任意一点，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE，连结EC.
(1)依题意补全图形；
(2)求∠ECD的度数；
(3)若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交EC的延长线于点F，请写出求AF长的思路．
27.
(1)如图………………………………………………1分
(2)∵线段AD绕点A逆时针方向旋转90°，得到线段AE.
∴∠DAE=90°，AD=AE.
∴∠DAC+∠CAE=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠DAC=90°.
∴∠BAD=∠CAE.…………………………………………………………………………2分
又∵AB=AC,
∴△ABD≌△ACE.
∴∠B=∠ACE.
∵△ABC中，∠A=90°，AB=AC,
∴∠B=∠ACB=∠ACE=45°.
∴∠ECD=∠ACB+∠ACE=90°.……………………………………………………………4分
(3)Ⅰ.连接DE,由于△ADE为等腰直角三角形，所以可求DE=；……………………5分
Ⅱ.由∠ADF=60°,∠CAE=7.5°，可求∠EDC的度数和∠CDF的度数，从而可知DF的长；
…………………………………………………………………………………………………6分
Ⅲ.过点A作AH⊥DF于点H，在Rt△ADH中,由∠ADF=60°，AD=1可求AH、DH的长；
Ⅳ.由DF、DH的长可求HF的长；
Ⅴ.在Rt△AHF中,由AH和HF,利用勾股定理可求AF的长．…………………………7分
延庆区27．如图1，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．
（1）求证：∠FBC=∠CDF．
（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG．
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段DF，BF，CG之间的数量关系并加以证明．
27.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°．
∴∠CDF+∠E=90°．
∵BF⊥DE，
∴∠FBC+∠E=90°．
∴∠FBC=∠CDF．……2分
（2）①
……3分
②猜想：数量关系为：BF=DF+CG．
证明：在BF上取点M使得BM=DF连接CM．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC．
∵∠FBC=∠CDF，BM=DF，
∴△BMC≌△DFC．
∴CM=CF，∠1=∠2．
∴△MCF是等腰直角三角形．
∴∠MCF=90°，∠4=45°．……5分
∵点C与点G关于直线DE对称，
∴CF=GF，∠5=∠6．
∵BF⊥DE，∠4=45°，
∴∠5=45°，
∴∠CFG=90°，
∴∠CFG=∠MCF，
∴CM∥GF．
∵CM=CF，CF=GF，
∴CM=GF，
∴四边形CGFM是平行四边形，
∴CG=MF．
∴BF=DF+CG．……7分
在ABCD中，是BC上一点，连接A，延长至点，使=BE，过点作H⊥AE于点H，交A于点，交AC于点连接A
（1）
（2）∠FAC=∠APF；
（）
27．（1）
（2）ABCD，
∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，
∴∠PAH=45°-∠BAE．
∵FH⊥AE．
∴∠APF=45°+∠BAE．
∵BF=BE，
=AE，
∴∠FAC=45°+∠BAF．
∴∠FAC=∠APF．……………………………4分
（）
证明：过作于点，
，AE．
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，ABC=∠BCD=90°．
∴∠BAE=∠CBQ．
∴△ABE≌△BCQ．
∴AE=BQ．
∴AE=MN．
∵∠FAC=∠APF，
∴AF=FP．
∵AF=AE，
∴FP=MN．
∴FM=PN．……………………………………………………………8分
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图1
图2
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图1
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