北京市各区2018届九年级中考一模数学试卷精选汇编
压轴题专题
东城区28.给出如下定义:对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P(M,O,N三点不共线,且P,O在直线MN的异侧),当∠MPN+∠MON=180°时,则称点P是线段MN关于点O
的关联点.图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.
在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.
(1)如图2,,.在A(1,0),B(1,1),
三点中,是线段MN关于点O的关联点的是;
(2)如图3,M(0,1),N,点D是线段MN关于点O的关联点.
①∠MDN的大小为°;
②在第一象限内有一点E,点E是线段MN关于点O的关联点,
判断△MNE的形状,并直接写出点E的坐标;
③点F在直线上,当∠MFN≥∠MDN时,求点F的横坐标的取值范围.
8.解:(1)C;--------------2分
(2)①60°;
△MNE是等边三角形,点E的坐标;--------------5分
③直线交y轴于点K(0,2),交x轴于点.
∴,.
∴.
作OG⊥KT于点G,连接MG.
∵,
∴OM=1.
∴M为OK中点.
∴MG=MK=OM=1.
∴∠MGO=∠MOG=30°,OG=.
∴
∵,
∴.
又,,
∴.
∴.
∴G是线段MN关于点O的关联点.
经验证,点在直线上.
结合图象可知,当点F在线段GE上时,符合题意.
∵,
∴.--------------8分
西城区28.对于平面内的和外一点,给出如下定义:若过点的直线与存在公共点,记为点,,设,则称点(或点)是的“相关依附点”,特别地,当点和点重合时,规定,(或).
已知在平面直角坐标系中,,,的半径为.
(1)如图,当时,
若是的“相关依附点”,则的值为__________.
是否为的“相关依附点”.答:__________(填“是”或“否”).
(2)若上存在“相关依附点”点,
当,直线与相切时,求的值.
当时,求的取值范围.
(3)若存在的值使得直线与有公共点,且公共点时的“相关依附点”,直接写出的取值范围.
【解析】(1).是.
(2)如图,当时,不妨设直线与相切的切点在轴上方(切点在轴下方时同理),
连接,则,
,,,
,,
,
此时,
如图,若直线与不相切,设直线与的另一个交点为(不妨设,点,在轴下方时同理),
作于点,则,
,
,
,
当时,,
此时,
假设经过点,此时,
点早外,
的取值范围是.
(3).
区28.在平面直角坐标系中,对于点和,给出如下定义:若上存在一点不与重合,使点关于直线的对称点在上,则称为的反射点.下图为的反射点的示意图.
(1)已知点的坐标为,的半径为,
①在点,,中,的反射点是____________;
②点在直线上,若为的反射点,求点的横坐标的取值范围;
(2)的圆心在轴上,半径为,轴上存在点是的反射点,直接写出圆心的横坐标的取值范围.
28.解(1)①的反射点是,.………………1分
②设直线与以原点为圆心,半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为,,,,过点作轴于点,如图.
可求得点的横坐标为.
同理可求得点,,的横坐标分别为,,.
点是的反射点,则上存在一点,使点关于直线的对称点在上,则.
∵,∴.
反之,若,上存在点,使得,故线段的垂直平分线经过原点,且与相交.因此点是的反射点.
∴点的横坐标的取值范围是,或.………………4分
(2)圆心的横坐标的取值范围是.………………7分
区28.对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形,给出如下定义:点P为图形上一点,点Q为图形上一点,当点M是线段PQ的中点时,称点M是图形,的“中立点”.如果点P(x1,y1),Q(x2,y2),那么“中立点”M的坐标为.
已知,点A(-3,0),B(0,4),C(4,0).
(1)连接BC,在点D(,0),E(0,1),F(0,)中,可以成为点A和线段BC的“中立点”的是____________;
(2)已知点G(3,0),⊙G的半径为2.如果直线y=-x+1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”,求点K的坐标;
(3)以点C为圆心,半径为2作圆.点N为直线y=2x+4上的一点,如果存在点N,使得轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”,直接写出点N的横坐标的取值范围.
28.解:(1)点和线段的“中立点”的是点D,点F;………2分
(2)点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、
半径为1的圆上运动.
因为点K在直线y=-x+1上,
设点K的坐标为(x,-x+1),
则x2+(-x+1)2=12,解得x1=0,x2=1.
所以点K的坐标为(0,1)或(1,0).………5分
(3)(说明:点与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、
半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时,符合题意.)
所以点N的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2.………8分
石景山区28.对于平面上两点A,B,给出如下定义:以点A或B为圆心,AB长为半径的圆称为点A,B的.如图为点A,B的的示意图.
(1)已知点A的坐标为,点的坐标为,
则点A,B的的面积为_________;
(2)已知点A的坐标为,若直线上只存在一个点B,使得点A,B的的面积为,求点B的坐标;
(3)已知点A在以为圆心,以1为半径的圆上,点B在直线上,若要使所有点A,B的的面积都不小于,直接写出的取值范围.
28.解:(1);…………………2分
(2)∵直线上只存在一个点,使得点的“确定圆”的面积
为,
∴⊙的半径且直线与⊙相切于点,如图,
∴,.
①当时,则点在第二象限.
过点作轴于点,
∵在中,,,
∴.
∴.
②当时,则点在第四象限.
同理可得.
综上所述,点的坐标为或.
…………………6分
(3)或.…………………8分
中的点P,给出如下定义:若在上存在一点Q,使得P,Q两点间的距离小于或等于1,则称P为
的点.
3时,
①在点P1(,),P2(,0),P3(,)中,的点是;
在直线y=x+b上的点,,求的取值范围;
(2)的
旋转30°得到射线l,若射线l上存在线段AB的点.
28.解:(1)线段AB的伴随点是:.
②如图1,当直线y=2x+b经过点(3,1)时,b=5,此时b取得最大值.
如图2,当直线y=2x+b经过点(1,1)时,b=3,此时b取得最小值.
b的取值范围是3≤b≤5.
(2)…………………………………………8分
燕山区中,∠ACB=90°,CD是AB边的中线,DE⊥BC于E,连结CD,点P在射线CB上(与B,C不重合).
(1)如果∠A=30°
①如图1,∠DCB=°
②如图2,点P在线段CB上,连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60°,得到线段DF,连结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图3,若点P在线段CB的延长线上,且∠A=(0°<<90°),连结DP,将线段DP绕点逆时针旋转得到线段DF,连结BF,请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系(不需证明).
28.解:(1)①∠DCB=60°…………………………………1′
②补全图形
CP=BF…………………………………3′
△DCP≌△DBF…………………………………6′
(2)BF-BP=2DEtan…………………………………8′
门头沟区
28.在平面直角坐标系xOy中,点M的坐标为,点N的坐标为,且,,我们规定:如果存在点P,使是以线段MN为直角边的等腰直角三角形,那么称点P为点M、N的“和谐点”.
(1)已知点A的坐标为,
①若点B的坐标为,在直线AB的上方,存在点A,B的“和谐点”C,直接写出点C的坐标;
②点C在直线x=5上,且点C为点A,B的“和谐点”,求直线AC的表达式.
(2)⊙O的半径为,点D为点E、F的“和谐点”,若使得△DEF与⊙O有交点,画出示意图直接写出半径的取值范围.
备用图1备用图2
28.(本小题满分8分)
解:(1)?.……………………………………………2分
?由图可知,B
∵A(1,3)∴AB=4
∵为等腰直角三角形
∴BC=4
∴
设直线AC的表达式为
当时,
…………………………………3分
当时,
…………………………………4分
∴综上所述,直线AC的表达式是或
(2)当点F在点E左侧时:
大兴区在平面直角坐标系中,轴上一点作平行于轴的直线交某函数图象于点,点是轴上一动点,连接,过点作的垂线交轴于点(在线段上,不与点重合),则称为点,,的“平横纵直角”.图1为点,,的“平横纵直角”的示意图.
图1图2
如图,在平面直角坐标系中,轴交于点,与轴分别交于点(,0),(12,0).若过点F作平行于轴的直线交抛物线于点.
(1)的横坐标为;
(2)已知一直角为点的“平横纵直角”,
若在线段上存在不同的两点、,、都与点重合,试求的取值范围;
(3)设抛物线的顶点为点,连接与交于点,当时,求的取值范围.
28.(1)9
(2)方法一:
MK⊥MN,
要使线段OC上存在不同的两点M1、M2,使相应的点K1、K2都与点F重合,也就是使以FN为直径的圆与OC有两个交点,即.,
.
,
.
方法二:
,
点K在x轴的上方.
OC于点W,设,,
则CW=OC-OW=3,WM=.
OK∽△NWM,
得,
∴.
∴.
当时,
,
化为.
0,即,
解得时,
线段OC上有且只有一点M,使相应的点K与点F重合.
,
∴线段OC上存在不同的两点M1、M2,使相应的点K1、K2都与点F重合时,的取值范围为.………………………………………………………………………………4分
(3)设抛物线的表达式为:(a≠0),
又抛物线过点F(0,),
..
.…………………………………5分
过点Q做QG⊥x轴与FN交于点R
FN∥x轴
∠QRH=90°
,,
,
又,
当时,可求出,…………………………………6分
当时,可求出.……………………………………7分
的取值范围为.…………………………………8分
平谷区
28.在平面直角坐标系中,点M的坐标为,点N的坐标为,且,,MN为菱形,该菱形的两条对角线分别平行于轴,轴,则称该菱形为边的“坐标菱形”.
(1)已知点A(2,0),B(0,2),则AB为边的“坐标菱形的最小内角为_______
(2)若点C(1,2)点D在直线y=5上,CD为边的“坐标菱形”为正方形,求直线CD表达式;
(3)O的半径为,点P的坐标为(3,m).若在O上存在一点Q,使得QP为边的“坐标菱形”为正方形,求m的取值范围
28.解:(1)60; 1
(2)∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形,
∴直线CD与直线y=5的夹角是45°.
过点C作CE⊥DE于E.
∴D(4,5)或. 3
∴直线CD的表达式为或. 5
(3)或. 7
怀柔区
28.P是⊙C外一点,若射线PC交⊙C于点A,B两点,则给出如下定义:若0<PAPB≤3,则点P为⊙C的“特征点”.
(1)当⊙O的半径为1时.
①在点P1(,0)、P2(0,2)、P3(4,0)中,⊙O的“特征点”是;
②点P在直线y=x+b上,若点P为⊙O的“特征点”.求b的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为1,直线y=x+1与x轴,y轴分别交于点M,N,若线段MN上的所有点都不是⊙C的“特征点”,直接写出点C的横坐标的取值范围.
28.
(1)①P1(,0)、P2(0,2)…………………………………………………………………2分
②如图,在y=x+b上,若存在⊙O的“特征点”点P,点O到直线y=x+b的距离m≤2.
直线y=x+b1交y轴于点E,过O作OH⊥直线y=x+b1于点H.
因为OH=2,在Rt△DOE中,可知OE=2.
可得b1=2.同理可得b2=-2.
∴b的取值范围是:≤b≤.…………………………………………………6分
(2)x>或.…………………………………………………………………………8分
延庆区28.平面直角坐标系xOy中,点,与,,如果满足,,其中,则称点A与点B互为反等点.
已知:点C(3,4)
(1)下列各点中,与点C互为反等点;
D(3,4),E(3,4),F(3,4)
(2)已知点G(5,4),连接线段CG,若在线段CG上存在两点P,Q互为反等点,求点P的横坐标的取值范围;
(3)已知⊙O的半径为r,若⊙O与(2)中线段CG的两个交点互为反等点,求r的取值范围.
28.(1)F……1分
(2)-3≤≤3且≠0……4分
(3)4
点P任意引出一条射线分别与、交于、,总有是定值,我们称曲线与“曲似”,定值为“曲似比”,点P为“曲心”.
例如:如图2,以点O''为圆心,半径分别为、(都是常数)的两个同心圆、,从点O''任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N,因为总有是定值,所以同心圆与曲似,曲似比为,“曲心”为O''.
(1)在平面直角坐标系xOy中,直线与抛物线、分别交于点A、B,如图3所示,试判断两抛物线是否曲似,并说明理由;
(2)在(1)的条件下,以O为圆心,OA为半径作圆,过点B作x轴的垂线,垂足为C,是否存在k值,使⊙O与直线BC相切?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;
(3)在(1)、(2)的条件下,若将“”改为“”,其他条件不变,当存在⊙O与直线BC相切时,直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式.
28.(1)是.
过点A,B作x轴的垂线,垂足分别为D,C.
依题意可得A(k,k2),B(2k,2k2).………………………………………………2分
因此D(k,0),C(2k,0).
∵AD⊥x轴,BC⊥x轴,
∴AD∥BC.
∴.
∴两抛物线曲似,曲似比是.…………3分
(2)假设存在k值,使⊙O与直线BC相切.
则OA=OC=2k,
,,,
∴.(舍负)
由对称性可取.
综上,.…………………………6分
(3)m的取值范围是m>1,
k与m之间的关系式为k2=m2-1.………8分
1/21
x
y
x
y
图2
图1
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