赌博中的计算

13187在纪元之初，民间就流行用抽签来解决人们彼此间的争端，这可能是最早的概率应用。随着社会的发展，随机现象愈来愈左右着人类的生活。因而在不确定性因素的情境中，寻找行为的理性规则，使理性服从机遇的愿望成为数学家研究的课题之一。直到文艺复兴时期，随机世界依然扑朔迷离、不能辨析。作为研究随机现象的概率论出现在17世纪中叶，象征着概率论诞生的标志之一，就是克里斯蒂安·惠更斯在1657年发表的《论赌博中的计算》（On Reckoning at Games of Chance）一文。

惠更斯1629年诞生于海牙的一个富豪之家。其父知识渊博，擅长数学研究，同时又是一杰出的诗人和外交家。惠更斯从小受到了父亲的熏陶，喜欢学习和钻研科学问题。16岁进入莱顿大学学习，后转到布雷达大学学习法律和数学。26岁获得法学博士学位。数学老师范·舒藤（Frans Van Sehooten）指导他学习当时的著名数学家、哲学家卡卡维（Carcavi）的数学著作及其哲学著作。惠更斯从中感悟到数学的奥妙而对数学很感兴趣。1650～1666年期间，他大多时间在家中潜心研究光学、天文学、物理学和数学等领域，成果显著，一举成为当时闻名遐迩的科学家。除去在光学、天文学等领域的贡献外，惠更斯也有出众的数学才能，可谓是一个解题大师。早在22岁时就写出关于计算圆周长、椭圆弧及双曲线的论文。他发现了许多数学技巧，解决了大量数学问题。如他改进了计算π值的经典方法；继续笛卡尔、费马和帕斯卡的工作，对多种平面曲线，如悬链线、曳物线、对数螺线、旋轮线等都进行过研究；对许多特殊函数求得其面积、体积、重心及曲率半径等，某些方法与积分方程的积分法相似。伯努利兄弟对惠更斯的研究极为佩服，尤其是约翰（John Bernoulli，1667～1748）发现旋轮线也是最速降线时甚是激动。他说：“这惠更斯等时曲线（旋轮线）就是我们正在寻求的最速降线！我感到十分惊奇！”

惠更斯在数学方面的最大贡献，就是以《论赌博中的计算》一文奠基了概率论的基础。1657年，惠更斯将其论文增加为9个命题和5个问题，形成了《论赌博中的计算》。论文的结构是一个引言、一个公设、十四个命题和一个推论以及五个供读者练习的问题。引言指出“虽然在一个纯粹运气的游戏中结果是不确定的，但一个游戏者或赢或输的可能性可以确切地确定。”可能性用的“probability”，意义与今天的概率没有差别。惠更斯的这种认识使得“可能性”真正成为可以度量、具有客观实在意义的概念了。

论赌博中的计算》的写作方式很像一篇现代的概率论论文。先从关于公平赌博值的一条公理出发，推导出有关数学期望的三个基本定理，利用这些定理和递推公式，解决了点数问题及其他一些博弈问题。最后提出5个问题留给读者解答，并仅给出其中的3个答案。通常所谓惠更斯的14个命题，指的就是书中3条定理加上11个问题。

公理：每个公平博弈的参与者愿意拿出经过计算的公平赌注冒险而不愿拿出更多的数量。即赌徒愿意押的赌注不大于其获得赌金的数学期望数。

对这一公理至今仍有争议。所谓公平赌注的数额并不清楚，它受许多因素的影响。但惠更斯由此所得关于数学期望的3个命题具有重要意义。这是数学期望第一次被提出，由于当时概率的概念还不明确，后被拉普拉斯（P.S.Laplace，1749～1827）用数学期望来定义古典概率。在概率论的现代表述中，概率是基本概念，数学期望则是二级概念，但在历史发展过程中却顺序相反。

公设提出数学期望的概念：赢取某物的机会或期望（Chance or Expectation）等于这样一个和，即是在一个公平赌博中他将以同样的机会和期望会获得的那些。虽然措辞有点晦涩，不过他以赌博情形作了解释：如果一个人将3先令放于一只手而将7先令放于令一只手，让我选择其中之一，我说这与他给我5先令是一样的。实际上惠更斯的“期望”就是帕斯卡的“机会的值”（value of chance）。

从公设出发，惠更斯首先巧妙地证明了三个命题，它们是其余命题的基础。

关于数学期望的三个命题为：

命题1：如果赢取a及b的机会相等，那么整个赢面为

（a+b）/2

命题2：如果赢得a，b及c的机会均等，那么整个赢面为

（a+b+c）/3

命题3：如果赢取a的机会是p，赢取b的机会是q，那么整个赢面为

(pa+qb)/(p+q)

可以认为，这3个命题蕴涵了惠更斯的概率理论。第一个命题是说，两人赌博，把所下的赌注分成a，b两份，并规定胜者得a，负者得b。在公平赌博中，两人的胜负机会是相等的，因此，他们得到a或b的概率都为1/2。第二个命题不过是把参加赌博的人数由两个增至3个。重要的则是命题3，因为它把经典概率问题完全包容了。对命题3，可以如下解释。假定有p+q个参加赌博的人，他们有均等的胜负机会。令p+q=r，用A1,A2,L,Ar，代表这些赌博者，并使他们环桌而坐，且令每个人下的赌注为(pa+qb)/r。规定如果Ai获胜，那么他本人得b，且在他左边的q−1人中的每个人，也得b；而Ai右边的p个人，每人只能得a。从而，每个参加赌博的人得到a的概率为p/r，得到b的概率为q/r。因此，可以推出，每个人的赢面是

(pa+qb)/(p+q)

在该命题中，惠更斯论证的是，对任一参加赌博的人，不论赌博方式如何，也不论有多少人参加，只要他获取Ai的概率为pi，那么他的总赢面就是

此公式概括了惠更斯在概率方面的全部工作，它给出了古典概率问题的一般求解方法，这是帕斯卡与费马所未做到的。

三、求解点数问题

所谓点数问题是：甲乙二人赌博，其技巧相当，约定谁先胜s局则获全部赌金。若进行到甲胜s1局而乙胜s2局时（s1

惠更斯的解决思路为：赌徒分得赌注的比例等于其获胜的概率。他假设赌徒在每局获胜的概率不变，且各局间相互独立。这样就可以归结为一般问题：

设随机试验中某随机事件每次成功的概率为p，重复独立进行该试验若干次，求在b次失败前取得a次成功的概率。

四、独创分析法

在《论赌博中的计算》的最后两个命题中，惠更斯创立了著名的“惠更斯分析法”来解决概率问题。

命题13：甲、乙掷一对骰子，约定：若掷得7点，则甲赢；若掷得10点，则乙赢；若掷得其他点数，则平分赌金。问甲、乙二人各自的期望值。

命题14：用两个骸子赌博，假如我掷出的点子和为7点，就可拿走全部赌金；对家掷出的点子和为6点时亦可拿走全部赌金。让他先掷，那么我与他的胜率之比为多少？

惠更斯在讨论这些命题时，应用了期望值这一数学概念。

其方法如下：“设我的赢面为x，全部赌金为a，那么对家的赢面就是a-x。显然，每次轮他掷时，我的赢面为x，但在轮我掷时，我的赢面会更大一些，假定为y。现在用两个散子掷36次，我的对家有5次机会掷出两个点子和为6点的结果（即3+3，4+2，2+4，5+1，1+5）。因此，有31次投掷对他是不利的。即使在这31次中，轮我掷，我也只有在这31次投掷中期望赢到y，其余5次是对家的权利，对我而言是不存在的。由命题3可知，赢得y的概率为31/36。由于先前已假定31y/36=x，所以y=36x/31。此外，还假定了轮我投掷时，赢面为y。我掷骰子时，有6次机会得到a，因为我有6次可能掷出两个骰子的点数和为7点的结果；另一方两，又有30次机会轮对家投掷，此对，我的赢面又变为x。因而，由命题3可知，y值等于赢得a的6次机会与赢得荆的30次机会之和，即(6a+30x)/36是我的赢面，它应等于y。根据前面的推导可得，y等于36x/31，因此必有

此即为我之赢面，从而对家的赢面就是30a/61。所以，我与对家赢面之比为31：30。在命题14的计算中引入了两个方程，这种方法后来被伯努利称为“惠更斯的分析方法”。

惠更斯的《论赌博中的计算》不仅是第一部概率论著作，而且是第一个把该学科建立在公理、命题和问题上而构成一个较完整的理论体系，第一次对以前概率论知识系统化、公式化和一般化。该书为概率论的进一步发展奠定了坚实的基础。

尽管惠更斯的《论赌博中的计算》已出版300余年了，但其科学的思想方法已跨越时空在数学教育尤其是概率论的学习中散发着无穷的力量。了解其内容有助于我们学习和应用概率论这一重要的数学分支。正如拉普拉斯所说“一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学科，这无疑是令人惊讶的事情”