什么是黎曼几何？

黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。是由德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作 欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 。

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

与欧氏几何

注意区分两种不同的讨论：数学上的讨论和物理学的时空观。

数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。

以下一段讨论涉及物理时所说的“ 欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。

欧氏几何

欧氏几何是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也是直的。但是假如我们生活的空间是一个 双曲面，（不是双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的 平面几何，其内角和自然是180度。

在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在 双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。这个几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平面。

与爱因斯坦

1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为 广义相对论研究的有效数学工具。而相对论的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如 矢量丛和联络论构成 规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。

1944年陈省身给出n维黎曼 流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为 复流形的微分几何与 拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多 复变函数论、 代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在 现代数学和 理论物理学中有重大作用。

广义相对论

广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1915年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。

从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。

爱因斯坦的科学定律，对所有的观察者，不管他们如何运动，都必须是相同的。它将引力解释成四维空间的曲率。

与李群

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B. 克里斯托费尔和R. 李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变 微分概念。在此基础上G.里奇发展了 张量分析方法，这在 广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了 黎曼几何学。

但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E. 嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。

黎曼几何

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在 格丁根大学发表的题为《 论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是 黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个 实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1+dx1，……xn+dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的 正定二次型理解度量。亦即 （gij）是由函数构成的正定 对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。

黎曼认识到度量只是加到 流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E 3中的曲面S上存在诱导度量ds 2=Edu 2+2Fdudv+Gdv 2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维 欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了 黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。

黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义曲率（截面曲率处处为常数）（a是常数），则当a=0时是普通的欧几里得几何，当a>0时 ，就是 椭圆几何，而当a<0时为>

微分几何中， 黎曼几何研究具有黎曼度量的光滑 流形，即流形切空间上二次形式的选择。它特别关注于角度、弧线长度及体积。把每个微小部分加起来而得出整体的数量。

19世纪， 波恩哈德·黎曼把这个概念加以推广。两个非欧几里得几何的特例是： 球面几何和双曲几何。

任意平滑流形容许黎曼度量及这个额外结构帮助解决微分拓扑问题。它成为 伪黎曼流形复杂结构的入门。其中大部分都是 广义相对论的四维研究对象。

研究黎曼几何先要熟悉以下主题：

1. 度量张量

2. 黎曼流形

3. 列维-奇维塔联络

4. 曲率

5. 曲率张量

黎曼（德国，1826-1866年）

黎曼1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》不仅包含了现代 复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了 拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的 微分几何研究铺平了道路。

现代智能科学的突破也需要类似黎曼几何般的思考，不出现新式逻辑体系，仅仅在现有的学科中修修补补，是很难颠覆性创新滴！