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初一·数学中孩子证明几何量垂直问题的常用方法 垂直问题也是几何中常见的问题，虽然表述的是直线与直线的位置关系，但可以看作是角的问题或纳入几何形的关系或性质之中。为了能提高与垂直问题有关的平面几何题的解题能力，老师总结出如下几个证垂直的常用方法 （1）利用等腰三角形的三线合一 （2）利用四点共圆（或利用圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角） （3）利用勾股定理的逆定理 （4）利用全等三角形的对应角相等关系 （5）利用直角三角形中两锐角互余证 （6）利用菱形的对角线互相垂直 （7）通过证明与直角三角形相似 （8）构造矩形（利用矩形性质） （9）进行直接计算（转化为角的问题） 例2.1 如图：已知OA=OB ，AC=BD且∠A=∠B=90º，M为CD的中点，求证：OM⊥CD. 证明： 如2-1图所示，连接OC、OD 在△AOC和△BOD中， OA=OB ∠A=∠B=90º AC=BD ∴ △AOC≌△BOD (SAS) ∴ OC=OD 在等腰△OCD中，M为中点 ∴ OM是底边的中线，也是高（三线合一） ∴ OM⊥OC. 例2.2 如图，AD是△ASC的高，E是AD上一点，，BE的延长线交AC于点F，BE=AC DE=DC.求证：BF⊥AC. 分析：欲证BF⊥AC，可以验证∠FBC ∠C=90º是否正确。由已知∠FBC ∠C=90º，只要能够证明∠C=∠BED就行了，故需要证明△ADC≌△BDE. 证明： ∵ AD是△ABC的高 ∴ ∠ADB=∠ADC=90º ∴ △ADC与△BDE都市直角三角形 ∴ 在Rt△ADC与Rt△BDE中， AC=BE DC=DE ∴ Rt△ADC≌Rt△BDE (HL) ∴ ∠C=∠BED (全等三角形对应角相等) ∴ 在Rt△BDE中，由于∠EBD ∠BED=90º (直角三角形两锐角互余) ∴ ∠EBD ∠C=90º ∴ ∠BFC=90º ∴ BF⊥AC (垂直的定义) 例2.1 说明了通过方法（1）来证垂直，从而体现提高解平面几何的题的能力，而例2.2则涵盖了方法（4）、（5），通过巧用这两种方法来提高解题的速度和能力。其它方法在此就不一一举例说明了。 初二·数学 十字相乘法解一元二次方程 一元二次方程我们一共会经历四种求解方法的学习，分别是直接开方法、配方法、公式法和因式分解法。当我们学到最后一种时，我们不由地舒了一口气，好像因式分解不再有那么多的计算代入了。然而，就会出现一些方程，我们不会因式分解，这个最简单的方法眼看就用不起来了。今天我们把初一时学过的十字相乘拉出来回顾一下，看看会对我们解一元二次方程有什么便利之处呢。 一、用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解 我们把这个过程用以下划十字的形式来反映：把二次项6x2拆成2x·3x，分别写在十字交叉的左边上下两角，把常数项4拆成1x4，写在右边上下两角。上下两数可适当换位，使交叉相乘的和等于一次项！ 【练习一】 用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式： 总结： （1）当二次项系数是正数时，如果常数项是正数，必须拆成同号两个数相乘：一次项系数为正则拆成两个数同为正，一次项系数为负则拆成两个数同为负。 （2）当二次项系数是1时，如果常数项是负数，拆成异号两个数相乘：这两个数绝对值之差的绝对值正好是一次项系数的绝对值。 （3）不是所有二次三项式都能“十字相乘法” 进行因式分解，只是对某些特殊的多项式较为方便。如x2 x-1不能用“十字相乘法” 进行分解。 二、用“十字相乘法”解某些特殊的一元二次方程 【练习二】 解下列一元二次方程： |
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