菱形与双动点问题解析： （1）答案：6 （2） （3）先观察“全程动画”演示： 分类解答如下： 动点（在角内）与菱形如图，P为∠AOB内一点，OC=m(m为正数），过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M ．C为射线OA上任一点，连结CP并延长交OB于N点.. （1）若∠AOB=60°，OQ:OM:MC=1:4:2，探索CN、ON、OC之间的数量关系并加以证明． （2）当点P在边∠AOB的平分线上运动时，问：1/OM－1/ON的值是否发生变化？如果变化，指出该值随m的变化情况；如果不变，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若m＝3，菱形OMPQ的面积为S[1]，△NOC的面积为S[2]，求(S[1] /S[2])的取值范围. 解析如下： （1）
（2）
（3）
动点与矩形（中考题改编）如图，矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，F为射线BA上的一点，连接CF交BD于E点，交AD于G点，已知AF＝8，tan∠BCF＝1.5, （1）求DG的长 （2）△BEF的面积； （3）若矩形A'B'C'D'从B点出发，沿射线BA方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形ABCD与△BEF重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．
解析（解法多种，仅提供一种）： （1）
（2）
（3）先观察“全程”动画.
第一种情况：当0≤t≤3时
第二种情况：当3<t≤8时
第三种情况：当8<t≤12时
全程图象：
全程图形和图象：
动点与动直线如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝50，AC＝30，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点．点P从点D出发沿折线CD－DE－EF－FC以每秒7个单位长的速度匀速运动；点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点Q作射线QK⊥AB，交折线BC－CA于点G．点P、Q同时出发，当点P绕行一周回到点C时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒． （1）D、F两点间的距离是__________； （2）射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分？若能，求出t的值．若不能，说明理由； （3）当点P运动到折线EF－FC上，且点P又恰好落在射线QK上时，求t的值； （4）连结PG，当PG∥AB时，请直接写出t的值．
观察“全程动态图” (说明：本题的动态图的作图视频讲解在《几何画板》使用——实例培训中)
图文解析：（强调：本题从头到尾均用三角函数的概念来解析，注意体会其中的过程） (1)根据三角形的中位线定理和勾股定理不难得到DF=25 (2)依题意，QK必经过矩形对角线的交点(当然也经过DF的中点).
（3）
（4） 第一种情况：
第二种情况：
动点与正方形在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°. (1) 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①）.求证：△AEG≌△AEF； (2) 若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②）.求证：(EF^2)=(ME^2) (NF^2)； (3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），试探究线段EF，BE， DF之间的等量关系，并说明理由.
(说明：本题的动态图的制作视频讲解在《几何画板》使用——实例培训中) 解析： （1）
（2）
（3）
动直线与平行四边形（2016·黑龙江龙东）已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点． （1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明） （2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．
(说明：本题的动态图的制作视频讲解在《几何画板》使用——实例培训中) 解析： （1）
（2）由（1）证明思路及中点的常用辅助线不难得到： 第一情况： 进一步，
第二种情况：结论是：CF＝OE－AE. 类似证明.
…… 思考：如果P点落在AC的延长上呢？ [类似结论和证明（略）]
动点、正方形与最值如图，已知：E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE=DF，连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H，若正方形的边长为2，求线段DH长度的最小值.. 拓展：若E、F在直线AD上的两个动点，连接CH，其他条件不变，画出对应的图形，并求出CH的最大值和最小值.
图文解析： 先找不变的量：
∠AHB＝90°（为定值）——联想到“直径所对圆周角为90°”
变式1：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E为直线AD上的动点，过A点作AH⊥BE于H，连接DH，求DH的长的最大值与最小值.
解析：
变式2：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E为直线AD上的动点，过A点作AH⊥BE于H，F是在线段BD上，且DF=2BF，连接FH，求FH的长的最大值与最小值.
解析：FH最小值的点：
FH最大值的点：
变式3：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E为直线AD上的动点，将△ABE沿BE对折得到△BHE，连接DH，求DH的长的最大值与最小值.
解析：最小会值的点：
变式4：等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，AD=BD=6，E为直线AD上的动点，F是边AB上的点，且AF=2BF，连接EF，将△AEF沿EF对折得到△HEF，连接DH，求DH的长的最大值与最小值.
解析：最小值的点
最大值的点
变式5：△ABD中，sinA＝0.6，AB=2，AD=3，E为直线AD上的动点，将△ABE沿BE对折得到△BHE，连接DH，求DH的长的最大值与最小值.
解析：
变式6：条件与原题一样，求CH的最小值和最大值.
解析：
最小值的点：
(思考题)变式7： E、F是长宽比为4：3的矩形ABCD的边AD上的两个动点，且满足AE：DF=9：16，连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H，若AB=6，求线段DH长度的最小值. .
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