数学世界里的咒语

高考数学MOOK

2017  VOL . 08

作者：杨春波（河南郑州）

一、咒语内容

二、咒语解读

文末介绍一种冻结变量法破解“任意”与“存在”混合型问题，希望快速推导结论的同学可以直接看文末方法。

下面详细解释一下以上结论的逻辑规律。

破解：高三（19）班的教室里来了一个篮球运动员，扬言道：我比（19）班的任意一位同学都高！怎么检验这句话的真伪呢？

是否有必要把（19）班的每一位同学都和这位运动员比身高？

当然没有！我们只需让（19）班最高的那位同学和这位运动员一比高下，若

（19）班最高同学的身高＜运动员身高，

那么就可保证篮球运动员高于（19）班的任意一位同学．

注：若将咒语中的改为≤、>、≥，也可类似破解，下同． 

破解：高三（19）班的教室里来了一个乒乓球运动员，说道：我在你们班肯定不是最低的！这句话是什么意思呢？言下之意是：存在（19）班的一位同学，身高低于这位乒乓球运动员．该怎么检验这句话的真伪呢？

是否有必要把（19）班的每一位同学都和这位运动员比身高？

也没必要！我们只需让（19）班最低的那位同学和这位运动员一比高下，若

（19）班最低同学的身高＜运动员身高，

那么就可保证乒乓球运动员的身高不是最低的．

破解：这里继续用“身高论”来破解，当然换作“成绩论”等其他的内容也可以．

从高三（19）班随意找一位同学A，从高三（20）班随意找一位同学B，如果总有A同学的身高＞B同学的身高，这能说明怎样的一个事实？

这说明：高三（19）班的每一位同学都高于（20）班的同学！

这里面有好的情况，也有坏的情况．最坏的情况是A同学是19班里最低的，而B同学是20班里最高的，如果

高三（19）班最低同学的身高

＞高三（20）班最高同学的身高，

那么必然就有高三（19）班的每一位同学都高于（20）班的同学！

破解：高三（19）班的同学A是随意找的，而高三（20）班的同学B却是存在即可，怎么保证A同学的身高＞B同学的身高呢？

“任意”时，我们想最坏的情况，因此同学A应取（19）班最低的；“存在”时，我们想最好的情况，因此同学B也应取（20）班最低的．

如果

高三（19）班最低同学的身高

＞高三（20）班最低同学身高，

那么是不是就有“任意的A”总高于“存在的B”呢？

仔细想想，是不是这个理儿？

破解：“存在的A”高于“任意的B”．“存在”想最好，所以A是最高的；“任意”想最差，所以B也是最高的．于是

高三（19）班最高同学的身高

＞高三（20）班最高同学身高．

破解：“存在的A”高于“存在的B”．两个存在，都想最好的情况，只需

高三（19）班最高同学的身高

＞高三（20）班最低同学身高．

破解：从高三（19）班随意找一位同学A，在高三（20）班都存在一位和A等身高的同学B，这是怎么回事呢？

这也很好理解嘛！因为A是任意的，所以必然是

高三（19）班的每一位同学都能在（20）班找到等身高的同学，也就是高三（19）班同学的身高集是（20）班同学身高集的子集．通俗地讲，就是（19）班同学的身高范围跑不出（20）班同学的身高范围．

破解：在高三（19）班和（20）班分别存在一位同学A和同学B，他们身高相同，那么他们的身高是两班身高集的公共元素．依存在性，则交集非空即可！

三、冻结变量法

冻结变量法破解“任意”与“存在”混合型问题