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今天带五年级的学生探究了bdpq游戏，觉得很有意思，便留个记录^_^ bdpq游戏是sleeeeepfly睡神飞工作室研发的一款烧脑益智游戏，玩法很简单，却充满了各种变化，是苹果“挑战大脑”专题推荐世界28个烧脑游戏之一。 进入游戏就是下图的界面，游戏玩法也很简单：按住中心点左右或上下滑动翻转，中心点相邻的块会跟着一起翻转，当4个方块字母相同，就成功了。 简单操作几次之后，可能碰巧成功了（诶，我怎么成功的来着 可能有些夸张了，因为入门的2阶版，其实没那么难 对，我想要把基本模式找出来 我们先对问题进行简单分析：
我们可以换个角度思考第4点：如果用相同的翻转方向（如左右翻转），那么经过奇数次操作后会改变状态，而偶数次操作后保持不变。所以，如果我们希望第一块不变，那么就努力让它发生奇数次变化，而其它块发生偶数次变化。尝试后，发现3、2、2、2是个可行的方案： 由于我们此时更关注的是每块翻转了几次，而不是它当前是什么字母，所以将标记改为数字。【数学中最重要的思想是转化与划归，而我们任何时候要转化问题，一定都有原因、目的，一定是另一种形式能让问题更简单、直观或熟悉】 有了上述基础，我们就可以为所欲为啦，哪块儿不符合心中所想，我们就用上面的工具解决那一块儿! 但是，这样真的好麻烦、步骤好繁琐 有什么更简便的方法吗？ 仔细观察我们会发现，每次操作时都会动3块，保持其中一块不动。这时候我想到了孙老师的“广义对称”，或许我们能从问题的反面来寻求出路！ 为了祝贺这个想法的产生，我还画了一张示意图：
如上图，没动的同学，却因其它所有同学的后退，而产生了相对移动！没错，本问题也不关心绝对位置，只关心相对移动（并不关心你是哪个字母，只关心你与其它字母同还是不同） 的确，本问题中一次操作移动的3块，它们之间的相对位置不会改变，之前需要什么操作，之后还是需要什么操作。例如，bdp一起左右翻转，得到dbq，之前d、p与①号b之间差一次翻转，之后的b、q与①号d之间还是只差一次翻转，而且连翻转类型都没变。 于是，我们得到一个非常有用的结论：如果你直觉想要翻转某一块，只需用相同的方式翻转其余3块便可。 如下图，我们目标锁定在左下方块 喜欢思考的我，决不能止步于此，我得想想问题还有什么值得探究的地方 于是我想，bdpq转化为同一字母，最少的步骤是多少？ 上面已经得到一个4步的答案，那最少步骤一定不会大于4. 有没有可能是3呢？值得怀疑，但如果要验证3的每一种情况，需要验证8×8×8-512次（每次可操作4个方块，有上下、左右翻转两种操作方式）. 显然，我们得打消这个念头！ 那么我们能借用刚才“相对移动”的思考方式吗？答案是肯定的。 我们如果以b方块为目标，初始状态时：
即，其余3个字母需要1+1+2=4步，才能都变为b. 次数刚好和前面得到的4次操作相等。而这并不是巧合！！ 我们将问题目标转化为：需要几次操作，它们之间的相对位置都变成0. 根据前面的讨论，每一次操作，都有且仅有一个方块，与其它3块发生相对位置变化，而且只变化1. 我们可以将其形象化表示为：
上图的左右两侧表示相差1次左右翻转的距离，上下两侧则表示需要1次上下翻转，所以d和b，p和b的距离都是1。它们3一起行动，不管是左右还是上下翻转，都不会改变相对距离。而q与b的距离是2，如果bdp一起行动，q点与他们的相对位置会改变1，或者说会与b的相对距离减小1. 每一次，都能改变其中一个点与目标的相对距离，所以最少需要上图中1+1+2=4次操作。 原问题得证！简单总结，问题的证明分成了2步：
前面的讨论多次用到了“变而治之”(转化与划归)，这是大多数复杂问题解决的核心。“变而治之”不应该体现在某些固定的题型之中，而应该出现在每一次遇到困难的时刻，应用与训练皆是如此。 那么这个问题还有什么值得研究的？可能还有很多，至少我们还可以试试3阶的情况。 ==== 疲惫的人已经不用看下去了 受2阶情况的启发，我们可以先探索一下，3阶情况的基本操作及其组合有哪些。我们可根据位置特征，将基本操作分为三类：
有趣的是，我们以上面的基本操作进行组合，产生的绝大多数，仍然是这几种基本操作。唯独多了以下两种模式： 讨论了这些基本模式后，我们看上去还是觉得很乱，一个重要原因是bdpq看上去太相似了，很容易迷糊。这里我们可以再进行一次形式转化，将bdpq变为ABCD或1234，以1234为例：
我们发现4种状态都有，容易判断4和1出现在一个操作模板中，将它们转为2、3：
很好，这时候只剩下2种状态了，而且显然可用我们前面组合出来的新模式解决：
好了，一个3阶的问题终于被解决了！我想，任何一个3阶的问题都可以被解决了！ 让我们永远像孩子一样，保持对世界的好奇心！ 这个世上，没有什么事情没有“为什么”！ 作者：陈硕815(清华，摩数教育科技，孙维刚研究院) |
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来自： 长沙7喜 > 《兴趣培养与智力开发》
... 于是开启了我的探索之旅
