FP

介绍

  打开你的搜索引擎，输入一个单词或一部分，例如“我”，搜索引擎可能会去统计和“我”一块出现得多的词，然后返回给你。其实就是去找频繁项集，而且需要相当地高效，像Apriori那样的速度肯定是不行的了。
  本文要介绍的是FP-growth算法，它被用于挖掘频繁项集，它把数据集存储为一个叫FP树的数据结构里，这样可以更高效地发现频繁项集或频繁项对。相比于Apriori对每个潜在的频繁项集都扫描数据集判定是否满足支持度，FP-growth算法只需要遍历两次数据库，因此它在大数据集上的速度显著优于Apriori。
  本文的内容和代码主要来源于《机器学习实战》，加入一些自己的理解和测试，有兴趣可以去看看原书。

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FP树

  FP即Frequent Pattern，FP树看上去就是一棵前缀树，根节点是空集，结点上是单个元素，保存了它在数据集中的出现次数，出现次数越多的元素越接近根。此外，结点之间通过链接（link）相连，只有相似元素会被连起来，连起来的元素又可以看成链表。同一个元素可以在FP树中多次出现，根据位置不同，对应着不同的频繁项集。可以为FP树设置最小支持度，过滤掉出现次数太少的元素。
  下面这个数据集构造FP树如下图所示。

instance id	elements
0	r, z, h, j, p
1	z, y, x, w, v, u, t, s
2	z
3	r, x, n, o, s
4	y, r, x, z, q, t, p
5	y, z, x, e, q, s, t, m

  这棵树每个结点上都是一个单独的元素，及其在路径中的出现次数，例如"z:5"表示集合{z}出现了5次，而"x:3"表示集合{z,x}出现了3次，这是路径相关的。

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FP树结点

  树结点定义如下，name存放结点名字，count用于计数，nodeLink用于连接相似结点（即图中箭头），parent用于存放父节点，用于回溯，children存放儿子结点（即图中实线）。disp仅用于输出调试。

class treeNode:
    def __init__(self, nameValue, numOccur, parentNode):
        self.name = nameValue
        self.count = numOccur
        self.nodeLink = None
        self.parent = parentNode
        self.children = {}

    def inc(self, numOccur):
        self.count += numOccur

    def disp(self, ind=1):
        print '  '*ind, self.name, ' ', self.count
        for child in self.children.values():
            child.disp(ind+1)
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构建FP树

  为了能方便地访问FP树种每一个不同的元素，需要为每种元素（的链表）设置一个头（header），这个header除了指向指定元素的第一个结点外，还可以保存该元素在数据集中的总出现次数。

  首先，遍历一次数据集，统计每个元素出现的次数，然后把出现次数较小的滤掉（例如选取最小支持度3，将出现次数小于3的元素滤除），然后对每个样本按照元素出现次数重排序。上面给出的数据集样例中，出现次数不小于3的元素有：z、r、x、y、s、t，滤除并重排后的样本如下所示。

instance id	elements	filtered & sorted elements
0	r, z, h, j, p	r, z
1	z, y, x, w, v, u, t, s	z, x, y, s, t
2	z	z
3	r, x, n, o, s	x, s, r
4	y, r, x, z, q, t, p	z, x, y, r, t
5	y, z, x, e, q, s, t, m	z, x, y, s, t

  接着，构造FP树。从根节点∅开始，将过滤并排序后的样本一个个加入树中，若FP树不存在现有元素则添加分支，若存在则增加相应的值。下图给出了从根节点∅开始依次添加三个样本（过滤且排序）后FP的情况。

  那么对于单个样本，FP树应该怎么生长呢？自然而然地想到递归。因为每个样本都是排序过的，频数高的频繁项集在前面，它总是更接近根结点，所以也可以把每个样本看成一棵子树，而我们要做的就是把子树添加到FP树里。因此每次只需判断第一个结点是否是根的儿子，若是则增加计数，若不是则增加分枝，然后递归调用构造FP树，传入第二个元素开始的子树即可。比如上例中往根节点∅增加样本(z,r)时，根没有z这个儿子，因此增加分支z。接着，只需递归地构造FP树，传入(r)，发现当前FP树∅-z也没有r这个儿子，因此增加分支r。最终递归返回，引入样本(z,r)后构造的FP树就是∅-z-r。
  下图详细地描述了这个过程，代码中updateFPtree()函数实现了这个功能。

FP树构造代码实现

def updateHeader(nodeToTest, targetNode):
    while nodeToTest.nodeLink != None:
        nodeToTest = nodeToTest.nodeLink
    nodeToTest.nodeLink = targetNode
def updateFPtree(items, inTree, headerTable, count):
    if items[0] in inTree.children:
        # 判断items的第一个结点是否已作为子结点
        inTree.children[items[0]].inc(count)
    else:
        # 创建新的分支
        inTree.children[items[0]] = treeNode(items[0], count, inTree)
        # 更新相应频繁项集的链表，往后添加
        if headerTable[items[0]][1] == None:
            headerTable[items[0]][1] = inTree.children[items[0]]
        else:
            updateHeader(headerTable[items[0]][1], inTree.children[items[0]])
    # 递归
    if len(items) > 1:
        updateFPtree(items[1::], inTree.children[items[0]], headerTable, count)

def createFPtree(dataSet, minSup=1):
    headerTable = {}
    for trans in dataSet:
        for item in trans:
            headerTable[item] = headerTable.get(item, 0) + dataSet[trans]
    for k in headerTable.keys():
        if headerTable[k] < minSup:
            del(headerTable[k]) # 删除不满足最小支持度的元素
    freqItemSet = set(headerTable.keys()) # 满足最小支持度的频繁项集
    if len(freqItemSet) == 0:
        return None, None
    for k in headerTable:
        headerTable[k] = [headerTable[k], None] # element: [count, node]

    retTree = treeNode('Null Set', 1, None)
    for tranSet, count in dataSet.items():
        # dataSet：[element, count]
        localD = {}
        for item in tranSet:
            if item in freqItemSet: # 过滤，只取该样本中满足最小支持度的频繁项
                localD[item] = headerTable[item][0] # element : count
        if len(localD) > 0:
            # 根据全局频数从大到小对单样本排序
            orderedItem = [v[0] for v in sorted(localD.items(), key=lambda p:p[1], reverse=True)]
            # 用过滤且排序后的样本更新树
            updateFPtree(orderedItem, retTree, headerTable, count)
    return retTree, headerTable
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测试实例

# 数据集
def loadSimpDat():
    simDat = [['r','z','h','j','p'],
              ['z','y','x','w','v','u','t','s'],
              ['z'],
              ['r','x','n','o','s'],
              ['y','r','x','z','q','t','p'],
              ['y','z','x','e','q','s','t','m']]
    return simDat
# 构造成 element : count 的形式
def createInitSet(dataSet):
    retDict={}
    for trans in dataSet:
        key = frozenset(trans)
        if retDict.has_key(key):
            retDict[frozenset(trans)] += 1
        else:
            retDict[frozenset(trans)] = 1
    return retDict

simDat = fpgrowth.loadSimpDat()
initSet = fpgrowth.createInitSet(simDat)
myFPtree, myHeaderTab = fpgrowth.createFPtree(initSet, 3) # 最小支持度3
myFPtree.disp()
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输出结果如下，构造出来的FP树与上面给出的图是等价的。

Null Set   1
  x   1
    s   1
      r   1
  z   5
    x   3
      y   3
        s   2
          t   2
        r   1
          t   1
    r   1
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从FP树挖掘频繁项集

从FP挖掘频繁项集的步骤如下：

1. 从FP树提取条件模式基
2. 用条件模式基构造FP树
3. 重复1和2直到树只包含一个元素

提取条件模式基

  条件模式基（conditional pattern base）定义为以所查找元素为结尾的所有前缀路径（prefix path）的集合。我们要做的就是从header列表开始，针对每一个频繁项，都查找其对应的条件模式基。举个例子，如下图所示，元素"r"的前缀路径是{z}、{z,x,y}和{x,s}。同时，每一个路径要与起始元素的计数值关联。

频繁项	前缀路径集合（条件模式基）
z	{} 5
r	{x,s} 1, {z,x,y} 1, {z} 1
x	{z} 3, {} 1
y	{z,x} 3
s	{z,x,y} 2, {x} 1
t	{z,x,y,s} 2, {z,x,y,r} 1

代码实现查找以目标元素结尾的所有路径（条件模式基）

# 递归回溯
def ascendFPtree(leafNode, prefixPath):
    if leafNode.parent != None:
        prefixPath.append(leafNode.name)
        ascendFPtree(leafNode.parent, prefixPath)
# 条件模式基
def findPrefixPath(basePat, myHeaderTab):
    treeNode = myHeaderTab[basePat][1] # basePat在FP树中的第一个结点
    condPats = {}
    while treeNode != None:
        prefixPath = []
        ascendFPtree(treeNode, prefixPath) # prefixPath是倒过来的，从treeNode开始到根
        if len(prefixPath) > 1:
            condPats[frozenset(prefixPath[1:])] = treeNode.count # 关联treeNode的计数
        treeNode = treeNode.nodeLink # 下一个basePat结点
    return condPats
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测试用例

print fpgrowth.findPrefixPath('z', myHeaderTab)
print fpgrowth.findPrefixPath('r', myHeaderTab)
print fpgrowth.findPrefixPath('x', myHeaderTab)
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3

输出结果与上表是一致的，区别在于省略了空集。

{}
{frozenset(['x', 's']): 1, frozenset(['z']): 1, frozenset(['y', 'x', 'z']): 1}
{frozenset(['z']): 3}
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创建条件FP树

  对每一个频繁项，都建立一棵条件FP树。上面我们对每一个频繁项提取了条件模式基，现在就用它作为输入数据，即把每一个前缀路径当成一个样本，调用createFPtree()构造一棵FP树，即条件FP树。然后，对这个条件FP树，递归地挖掘。由于createFPtree()中含有过滤的功能，因此最终总能获得所有满足最小支持度的频繁项，即我们所需要的频繁项集。

def mineFPtree(inTree, headerTable, minSup, preFix, freqItemList):
    # 最开始的频繁项集是headerTable中的各元素
    bigL = [v[0] for v in sorted(headerTable.items(), key=lambda p:p[1])] # 根据频繁项的总频次排序
    for basePat in bigL: # 对每个频繁项
        newFreqSet = preFix.copy()
        newFreqSet.add(basePat)
        freqItemList.append(newFreqSet)
        condPattBases = findPrefixPath(basePat, headerTable) # 当前频繁项集的条件模式基
        myCondTree, myHead = createFPtree(condPattBases, minSup) # 构造当前频繁项的条件FP树
        if myHead != None:
            # print 'conditional tree for: ', newFreqSet
            # myCondTree.disp(1)
            mineFPtree(myCondTree, myHead, minSup, newFreqSet, freqItemList) # 递归挖掘条件FP树
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测试

获取数据集中出现次数不小于3的组合。

simDat = fpgrowth.loadSimpDat()
initSet = fpgrowth.createInitSet(simDat)
myFPtree, myHeaderTab = fpgrowth.createFPtree(initSet, 3)

freqItems = []
fpgrowth.mineFPtree(myFPtree, myHeaderTab, 3, set([]), freqItems)
for x in freqItems:
    print x
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输出结果，可以对照一下，这些组合出现的次数都至少为3。

set(['y'])
set(['y', 'x'])
set(['y', 'z'])
set(['y', 'x', 'z'])
set(['s'])
set(['x', 's'])
set(['t'])
set(['y', 't'])
set(['x', 't'])
set(['y', 'x', 't'])
set(['z', 't'])
set(['x', 'z', 't'])
set(['y', 'x', 'z', 't'])
set(['y', 'z', 't'])
set(['r'])
set(['x'])
set(['x', 'z'])
set(['z'])
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代码中存在的bug

  出于测试，我把createFPtree中的最小支持度改成了2，意思是允许出现次数为2的单元素频繁项p和q参与进来，理论上mineFPtree生成的频繁项集应当只增无减才对，然而结果却是减少了，而且频繁项{y,x,z,t}不见了，说明代码有问题。
  经过排查，我认为错误出在按照频次对样本过滤与排序那里。如果有两个元素频次相同，python2的稳定排序会保持他们在原本字典中的顺序。为了解决这个问题，需要修改createFPtree函数中对样本排序的部分，使得两元素在频次相同时按照字母顺序排序。

def createFPtree(dataSet, minSup=1):
    ...
    if len(localD) > 0:
            # 根据全局频数从大到小对单样本排序
            orderedItem = [v[0] for v in sorted(localD.iteritems(), key=lambda p:(p[1], -ord(p[0])), reverse=True)]
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示例： 从新闻网站点击流中挖掘

  数据集kosarak.dat可以从这里下载，它的每一条记录是某个用户浏览过的新闻报道，总共99w条样本，新闻报道被编码成index。使用FP-growth，查看有哪些新闻报道集合被超过10w人浏览。

# 准备数据
with open("./data/kosarak.dat", "rb") as f:
    parsedDat = [line.split() for line in f.readlines()]
initSet = fpgrowth.createInitSet(parsedDat)

# 用数据集构造FP树，最小支持度10w
myFPtree, myHeaderTab = fpgrowth.createFPtree(initSet, 100000)

# 挖掘FP树
freqItems = []
fpgrowth.mineFPtree(myFPtree, myHeaderTab, 100000, set([]), freqItems)
for x in freqItems:
    print x
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输出结果如下，在我的macbook上，整个过程仅耗时13秒。

set(['1'])
set(['1', '6'])
set(['11'])
set(['11', '3'])
set(['11', '3', '6'])
set(['11', '6'])
set(['3'])
set(['3', '6'])
set(['6'])
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针对上面提到的bug，由于kosarak.dat中的元素都是字符串化的整数，故createFPtree中排序的部分应该修改成：

...
orderedItem = [v[0] for v in sorted(localD.iteritems(), key=lambda p:(p[1], int(p[0])), reverse=True)]       
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总结

  FP-growth其实是一种特殊的数据结构的应用，本质上是某种前缀树+相似元素链表的结构。FP-growth算法提供了一种相对更快的发现频繁项集的方法，它之所以快，是因为它只遍历1次数据集，即可将整个数据集构造成一棵FP树，之后从FP树中发现频繁项集。提取出频繁项集之后，就可以进一步挖掘关联规则，比如Apriori算法中的方法（详情可见这里）。
  书中算法的实现大量使用了递归，这里可能有个问题，就是递归层数过深。