高中数学 | 奇偶性定义的四个特性

函数奇偶性的定义为：设，如果对于任意，都有，则称函数为偶函数；如果对于任意，都有，则称函数为奇函数。

理解函数奇偶性的定义，可以得到以下四个方面的特性：

一、任意性

奇偶性定义中的及对定义域中任意x均成立。

例1、设，是R上的偶函数，求a的值。

解：因为是R上的偶函数，所以对任意x均成立，

即恒成立。整理为（）（）=0对任意x均成立，

所以。又因为，所以。

二、对称性

对于函数，有为奇函数的图象关于原点对称；为偶函数的图象关于y轴对称。

例2、把函数的图象向右平移个单位，所得函数为偶函数，则的最小值是（ ）

A. B. C. D. 

解：依题意，为偶函数，其图象关于y轴对称。

因为对称轴方程为，且直线是其中的一条对称轴，

所以。

又因为，所以时，的最小值是，选（B）。

例3、已知定义在R上的偶函数在（，0上是减函数，若，求不等式的解集。

解：利用偶函数图象的对称性，画出函数的示意图（如图）。

观察图象知，不等式可化为，即

或。从而

不等式的解集为。

三、同值性

若是奇函数，则当自变量取互为相反数的一对值时，其函数值也是互为相反数；若是偶函数，则当自变量取互为相反数的一对值时，其函数值相等。

例4、已知是定义在实数集上的奇函数，求函数f(x)的解析式。

解1：因为f(x)是奇函数，所以

即

解得，所以

解2：因为是定义在实数集上的奇函数，所以，得。所以。

例5、已知是奇函数，函数，且，求的值。

解：令。注意到是奇函数，那么

所以是奇函数

由

有，从而

四、穿越性

若是奇函数，则中的负号可以穿越f，即；若是偶函数，则中的负号不能穿越f，即。

例6、设的定义域是R，（1）若都是奇函数，求证：是奇函数；（2）若是偶函数，是奇函数，求证：是偶函数。

证明：（1）因为是奇函数，

所以负号能穿越f与g。这样，所以是奇函数。

（2）因为f(x)是偶函数，是奇函数，所以负号能穿越g而不能穿越f。

这样，，所以是偶函数。