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希帕索斯悖论 古希腊著名数学家毕达哥拉斯提出“万物皆数”的思想，他认为世间万物都可以用数来解释（此处所说的数指的是自然数）。 1表示万物之源，2表示物质，3表示理想数， 象征阿波罗神，一张饼分给三个人吃，那么每个得到的就是1/3……这样看来，似乎一切都能用自然数解释了，直到有一天，希帕索斯发现了√2。 事情是这样的：毕达哥拉斯学派发现了毕达哥拉斯定理，我们中国叫勾股定理。这个定理大家都知道，就不在这里赘述了。下面我们来看一个例子： 假如直角三角形的两直角边都是1，则斜边用现在的记号就是√2。按照毕达哥拉斯“万物皆数”的理论，√2就应该可以用p/q（p，q为正整数，且没有公约数）这样的数来表示，然而这个结论却是错误的，证明如下： 希帕索斯发现了这个事情，它撼动了毕达哥拉斯学派“万物皆数”的思想基础，于是被下令投到海里。 后来人们知道能表示成p/q的数都是有理数，而像√2这样不能表示成p/q的数叫做无理数，有理数和无理数合起来才构成完备的实数系统。 贝克莱悖论 牛顿、莱布尼茨发现了微积分基本定理，但是他们无法解决一个问题——无穷小量到底是不是零的问题，具体如下： 这让人丈二和尚摸不着头脑。 英国大主教贝克莱就批评说：“无穷小量是已死量的幽灵”。由于这个幽灵的出现，当时仅有个别的数学家能够掌握微积分的思想。这个问题一直等到柯西、维尔斯特拉斯出现以后才得到解决，解决办法就是现在大家熟知的ε-δ语言，有了这个语言，数学基础就更加牢固。 值得一提的是，解决问题的办法不仅仅有一种，后来发展的非标准分析就没有放弃无穷小量，但是它却从另一个角度解决了这个说不清道不明的问题。 罗素悖论 由于集合论的兴起，数学家们终于找到了一个数学的共同根基，正在大家兴高采烈地庆祝的时候，又一个悖论给了大家当头一棒——罗素悖论。 罗素悖论说的这样一个问题：定义集合S为不包含它本身的所有元素的集合，那么S是否属于S呢？ 假如你说是，那么S就满足性质：S不包含S，矛盾；假如你说否，那么S就是不包含它本身的集合，满足S的性质，所以S属于S，又矛盾。 假如你觉得这个听起来太费劲儿，请看下面一个通俗版的“罗素悖论”——“理发师悖论”。 在一个乡村里有一个理发师，他在理发店门口立了一块儿牌子，上边儿写着：我给所有不给自己理发的人理发。这听起来很正常，假如大家都自己给自己理发了，那还要他理发师干什么。可是有个好事之徒来到店里，他问了理发店主这样一个问题：你给自己理发吗？理发师一时目瞪口呆，哑口无言。 如果你是理发师，你会如何回答呢？假如你回答我给自己理发，那么你就违反了自己列的标语“只给不给自己理发的人理发”；假如你说我不给自己理发，那么你又违反了自己标语“要给所有不给自己理发的人理发”。总之，无论你怎么回答，你都掉进了自己的圈套。 为了解决罗素悖论，数学家发展出了公理化体系，大致意思是：我们只讨论我们能说清的东西。姑且不说这种给自己划界限的行为是进步还是退步，公理化运动看似有希望重新为数学建立一个基础，虽然这个基础是四分五裂的基础，但是哥德尔的出现让建立这种不稳定基础的努力也化为泡影。这就是后话了，有兴趣的同学可以去看看科普书《哥德尔证明》。
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