买了半辈子的彩票，现在才知道也要懂得一些数学知识

彩票怎么能得奖呢？理论上看，这取决于运气。然而，如果规则设计得不好，就可以钻漏洞。

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2005年2月，美国的一张彩票出现了漏洞，被麻省理工学院的学生发现。在接下来的七年里，这个学生总共购买了300万美元。

本文描述了他是如何做到的以及涉及的数学原理。我的主要材料来自斯坦福大学的数学教授Jordan Ellenberg的演讲。

1。期望值

彩票的最重要的数学概念叫做期望值，即在相同行为重复动作后可以获得的平均收入。

例如，如果每个抽奖是2元，假设200抽奖可以被授予一次，奖金是300元。嗯，你花了2000元，1000张抽奖券，5倍奖金，奖金是1500元。

这就是说，1000抽奖的总利润是1500元，平均回报是1.5元每一次。这就是期望。其计算公式如下。

期望＝300＊（1/200）＋0＊（199/200）＝1.5

期望值为1.5元，抽签成本为2元，净亏损为0.5元。

乍一看，我们知道这是不划算的。我们做的越多，它就越没有价值。如果你买彩票一整天，你会损失很多钱（第一次是每一百次一百元）。

总之，期望是彩票收益的一个关键指标。

麻萨诸塞州彩票大奖二

马萨诸塞州有一种彩票品种叫WrFael.它的规则很简单：从1到48，你猜6个数字，猜测有奖。

四奖（6猜2）：奖金2元。

三奖（6猜3）：奖金5元。

两奖（6猜4）：奖金150元。

一等奖（6猜5）：奖金是4000元。

一等奖（6猜测6）：奖金池的所有奖金。

一期共售出930万张彩票，其中一等奖100万元，一等奖238件，11625件2件，19万8000件三件，四件136万8000件。

计算结果表明，这张彩票的预期价值为0.798元。

期望值＝

每张彩票的价格是2元，但平均收入只有0.798元，甚至还不到一半。这张彩票很不经济。所以没有吸引力，购买彩票的人数正在减少。

州政府担心，因为政府从彩票中抽奖20%（每人0.4元）。如果销售减少，政府的收入也会减少。因此，为了增加彩票的吸引力，政府决定修改彩票规则。

三。新规则

新的规则是，如果目前没有特别奖（没有人猜6个数字），那么奖金将被分配给一等奖，两个奖，三个奖获得者，和新的奖项在如下。

一等奖（6分5）：50000元

两个奖（6个4）：2385元

三奖（6分3）：60元

或者利用前面的获胜率来计算期望值。

每张彩票的价格是2元，但期望值是5.53元。买这种彩票是非常划算的，如果你买了很多，你可以得到2.5倍的收入。期望值大于彩票的成本，因为奖金池还包括剩余奖金。

麻省理工学院的一名学生发现了这一点。他花了5000元买彩票，结果近15000元。

四。如何选择号码？

现在我们知道彩票的新规则是有利可图的，可以大量购买。然而，还有一个问题。我们应该如何选择数字来确保收入？也就是说，在48个数字中你应该选择哪6个数字来最大化收入？

毕竟，你不能买到所有的彩票，因为彩票的收益不是彩票中奖的。你只能购买彩票的一部分，并尝试使你购买的数字最大的可能奖。

为了简化我们的思维，让我们考虑一个简单的情况。从1到7猜三个数字，奖金如下。

3猜：奖金是6元。

2猜：奖金是2元。

1猜：没有奖金

你可以同时选择七个组合（也就是买七个张彩飘）。我如何选择号码？

五、组合数公式

首先，让我们考虑七个数字中三个数字的总数从1到7。在数学中，它被称为组合数公式。

组合数公式是指从m个不同元素中提取的n（n小于m）元素的所有组合的数目，由符号C（m，n）表示。

其计算公式如下。

C（m，n）＝m！n！*（M - N）！

在上面的公式中，感叹号表示阶乘，例如，4！等于4×3×2×1。

根据上述定义，七个数中的三个数的组合具有C（7, 3）。

C（7, 3）＝7！3！*（7—3）！= 35

也就是说，有35个组合的三个数字。我们可以列出它们。

一百二十三兆一千二百四十一亿二千五百一十二万六千一百二十七

以上都是35种可能的组合。你必须选择其中的7个。应该选择哪七个？

六、最佳组合

答案是以下七个组合。

123145167247256346 357

这七项彩票可以使你的收入最大化。因为无论最终获胜的数字是多少，他们都能保证你总能拿到6元奖金。如果中奖号码是123，那么你就得6元一等奖；如果中奖号码是367，那么167, 346, 357张三张票每人猜两个号码，你有三个小奖，奖金也是6元。

仔细观察七张彩票，你会发现他们是精心挑选的：每一个数字恰好是三次。这会使你获得一个奖项或三个小奖项。

七、几何选择方法

七张彩票是怎么选的？

有一种几何方法可以很简单地完成。七个数字是七个点，把它们连接成一条直线，每一条线只能有三个点，每个点出现在三条线上。当你画上面的形状时，你得到七条线（内圈也是一条线）。然后，记录每行的数量，并简单地选择七张票。

更严格的证明是：7个数字中的1-7个，有两个数字组合（C（7，2）），这意味着只要组合了所有的组合，就可以保证3个小的奖励。由于3个获奖号码，有两个组合的两个数字（例如，获奖数字是367，然后36，37，67可以是中小型奖品）。另一方面，由于每个彩票包含3个数字，也就是3个数字的组合，所以至少只有七张彩票可以覆盖所有的组合。

八。实践策略

回到前面的问题，彩票是如何在马萨诸塞州购买的？

6个数字只要猜4个，就可以两个奖，只要组合所有四个数字购买，就可以保证15个两个奖项（6个数字15个四个数字组合在一起的C（6, 4））。

在48个数（C（48, 4））中有194580个四个数的组合。由于彩票包含15个组合，12972张票的最小购买就足够了（194580/15＝12972），并且所有四个号码都可以包括在内。如果你感兴趣，你可以写一个程序来计算包含这194580个组合的所有彩票。

买12972张票需要25944元（12972×2）。根据此前的奖项，二等奖是2385元，所以15个二等奖是35775元（2385×15）。因此，投资25944元可以获得35775元的无风险。当然，这一回报率的前提是，没有人会猜出目前的头奖，否则奖金将大大稀释。