八年级数学常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用 “倍长中线法” 添加辅助线。

所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而利用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

倍长中线法最重要的一点：延长中线一倍，完成 SAS 全等三角形模型的构造。

一、常用辅助线添加方法 ~ 倍长中线法

如图在 △ABC 中 ， AD 是 BC 边上的中线：

图1

方法一、延长 AD 到 E ，使 DE = AD ，连接 BE ：

图2

方法二、间接倍长：

① 如图 作 CF⊥AD 于点 F ，作 BE⊥AD 的延长线于点 E ，

图3

② 如图 延长 MD 到 N 使 DN = MD ，连接 CN ，

图4

二、典型例题

例题1、在 △ABC 中 ，AB = 5 ， AC = 3 ，求中线 AD 的取值范围 。

思路：用方法一（利用三角形中三边关系确定中线范围）

例题2、已知在 △ABC 中，AB = AC , D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于点 F ，且 DF = EF ，

求证 ： BD = CE

图5

证明： 过点 D 作 DG∥AC 交 BC 于点 G

图6

∵ DG∥AC ∴ ∠GDF = ∠E ， ∠DGB = ∠ACB

∵ DF = EF ， ∠DFG = ∠EFC

∴ △DFG ≌ △EFC ∴ DG = CE

∵ AB = AC ∴ ∠B = ∠ACB

∴ ∠B = ∠DGB ∴ BD = DG = CE

例题3、已知在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且 BE = AC ，延长 BE 交 AC 于点 F ，

求证：AF = EF

图7

证明：延长 AD 到点 G 使 ED = DG ，连接 CG

图8

∵ BD = DC , ED = GD , ∠BDE = ∠CDG

∴ △BDE ≌ △CDG ∴ BE = CG ，∠BED = ∠G

∵ BE = AC ∴ AC = CG ∴ ∠G = ∠CAG

∵ ∠BED = ∠AEF ∴ ∠AEF = ∠FAE

∴ AF = EF

三、拓展提高（作业题）

例题4、如图，在 △ABC 中，AB ≠ AC ，D , E 在 BC 上，且 DE = EC , 过点 D 作 DF∥BA ，交 AE 于点 F ，DF = AC 。

求证： AE 平分 ∠BAC

图9