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数系是不断扩充的，先由整数到分数又到实数。接着把实数扩充到复数，经四元数扩充到八元数。这后一过程是怎样进行的？是否到八元数为止了，八元数体存在什么问题？这是下面要解决的主要问题。在此基础上，给出了一系列多元数体。 由实数域扩充数系，是如下进行的。 在实数域R上添加一个虚数单位i，ii=i/2=-1，若a，b∈R，对通常的加法和乘法，a+bi形成复数域C。 在C上添加一个虚数单位j，jj=j/2=-1，满足ij=-ji。（ij）/2=（ij）（ij）=i（j（ij））=i（j（-ji））=（i（-jj）i）=ii=-1。因此ij是一个虚数单位，（-ij）也是一个虚数单位。设ij=k（或设-ij=k）则k/2=-1，设虚数单位的集合为I，I中就有3个元素。从（ij）（ij）=i（j（ij））= i（jk）=-1知jk=i。从k（ij）=（ki）j=-1得ki=j。i，j，k关于乘法构成三阶循环群。若a，b，c，d∈R，则a+bi，c+di∈C，由（a+bi）+（c+di）j=a+bi+cj+dk构成的体称为四元数体Q。四元数体有左手系和右手系，决定于假设ij=k或设-ij=k。 在Q上再添加一个虚数单位r，rr=r/2=-1，满足ir=-ri，jr=-rj，a+bi+cj+dij∈Q，e+fi+mj+nij∈Q，那么a+bi+cj+dij+（e+fi+mj+nij）r= a+bi+cj+dij+er+fir+mjr+nijr是否构成体首先决定于（ijr）?=-1是否成立？因为前面证明可知（ir）/2=h/2=-1，（jr）/2=l/2=-1，所以（ijr）/2=（i（jr））/2=（il）/2=-1。可证明八元数a+bi+cj+dk+er+fh+ml+nq构成体，（Cayley）数体。八元数体可用复数域与四元数体的直积生成。构造方法如下：设i，j，k，h为虚数单位， 则（a+bi)（c+dj+ek+fh）=ac+adj+aek+afh+bci+bdij+beik+bfih。ij，ik，ih是虚数单位，分别设为l，r，q。虚数单位 i，j，k，h，l，r，q的元素个数7是素数，可以构成循环群，单位群={1，-1，i，j，k，h，l，r，q，-i，-j，-k，-h，-l，-r，-q}，可以构成体。以上两种生成八元数体方法是等价的。 |
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