最小二乘法 来龙去脉

最小二乘是每个上过大学的同学都接触过的概念与知识点(当然可能纯文科的同学没接触过，但是一般纯文科的同学也不会看这篇文章好像)。最小二乘理论其实很简单，用途也很广泛。但是每次说到最小二乘，总感觉差了点什么似的，好像对于最小二乘的前世今生没有一个特别详细与系统的了解。so，本博主趁着周末的时间，赶紧给详细整理整理，力争把最小二乘是个什么鬼做一个特别详细的说明，争取让学英语学中文学历史学画画唱歌的同学都能看明白。

1.最小二乘的背景

这种东东的来源，比较容易找到而且比较靠谱的途径自然是wiki百科了，以下部分的内容来自wiki百科：
1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里希·奥伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中，而法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。两人曾为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，见高斯-马尔可夫定理。

2.举个最简单的例子理解最小二乘

现在大家都越来越重视自己的身体健康。现代人最常见的亚健康问题就是肥胖，本博主身体棒棒哒，唯一困扰本博主的健康问题就是超重。（好吧，承认自己是个死胖子就完了）
假设身高是变量X，体重是变量Y，我们都知道身高与体重有比较直接的关系。生活经验告诉我们：一般身高比较高的人，体重也会比较大。但是这只是我们直观的感受，只是很粗略的定性的分析。在数学世界里，我们大部分时候需要进行严格的定量计算：能不能根据一个人的身高，通过一个式子就能计算出他或者她的标准体重？
接下来，我们肯定会找一堆人进行采用（请允许我把各位当成一个样本）。采样的数据，自然就是各位的身高与体重。（为了方便计算与说明，请允许我只对男生采样）经过采样以后，我们肯定会得到一堆数据(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xn,yn)$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_n,y_n)$，其中x是身高，y是体重。
得到这堆数据以后，接下来肯定是要处理这堆数据了。生活常识告诉我们：身高与体重是一个近似的线性关系，用最简单的数学语言来描述就是y=β0+β1x$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x$。于是，接下来的任务就变成了：怎么根据我们现在得到的采样数据，求出这个β0${\beta }_0$与β1${\beta }_1$呢？这个时候，就轮到最小二乘法发飙显示威力了。

3.最小二乘的cost function

在讲最小二乘的详情之前，首先明确两点：1.我们假设在测量系统中不存在有系统误差，只存在有纯偶然误差。比如体重计或者身高计本身有问题，测量出来的数据都偏大或者都偏小，这种误差是绝对不存在的。（或者说这不能叫误差，这叫错误）2.误差是符合正态分布的，因此最后误差的均值为0（这一点很重要)
明确了上面两点以后，重点来了：为了计算β0${\beta }_0$,β1${\beta }_1$的值，我们采取如下规则：β0${\beta }_0$,β1${\beta }_1$应该使计算出来的函数曲线与观察值的差的平方和最小。用数学公式描述就是：

Q=min∑in(yie−yi)2$$Q=min\sum _i^n(y_{ie}-y_i{)}^2$$

其中，yie$y_{ie}$表示根据y=β0+β1x$y={\beta }_0+{\beta }_{1}x$估算出来的值，yi$y_i$是观察得到的真实值。

可能有很多同学就会不服了，凭什么要用差的平方和最小勒？用差的绝对值不行么？不要骗我们好不好？
本博主不敢骗大家，为了让大家相信，特意找了一种本博主认为比较靠谱的解释：
我们假设直线对于坐标 Xi 给出的预测 f(Xi) 是最靠谱的预测，所有纵坐标偏离 f(Xi) 的那些数据点都含有噪音，是噪音使得它们偏离了完美的一条直线，一个合理的假设就是偏离路线越远的概率越小，具体小多少，可以用一个正态分布曲线来模拟，这个分布曲线以直线对 Xi 给出的预测 f(Xi) 为中心，实际纵坐标为 Yi 的点 (Xi, Yi) 发生的概率就正比于 EXP[-(ΔYi)^2]。（EXP(..) 代表以常数 e 为底的多少次方）。
所以我们在前面的两点里提到，假设误差的分布要为一个正态分布，原因就在这里了。
另外说一点我自己的理解：从数学处理的角度来说，绝对值的数学处理过程，比平方和的处理要复杂很多。搞过机器学习的同学都知道，L1正则就是绝对值的方式，而L2正则是平方和的形式。L1能产生稀疏的特征，这对大规模的机器学习灰常灰常重要。但是L1的求解过程，实在是太过蛋疼。所以即使L1能产生稀疏特征，不到万不得已，我们也还是宁可用L2正则，因为L2正则计算起来方便得多。。。

4.最小二乘法的求解

明确了前面的cost function以后，后面的优化求解过程反倒变得so easy了。
样本的回归模型很容易得出：

Q=∑in(yi−β0−β1x)2$$Q=\sum _i^n(y_i-{\beta }_0-{\beta }_{1}x{)}^2$$

现在需要确定β0${\beta }_0$、β1${\beta }_1$，使cost function最小。学过高数的同志们都清楚，求导就OK。对于这种形式的函数求导，so easy，so happy…

∂Q∂β0=2∑in(yi−β0−β1xi)(−1)=0∂Q∂β1=2∑in(yi−β0−β1xi)(−xi)=0$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }{\beta }_0}=2\sum _i^n(y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{x}_i)(-1)=0 \\ \frac{\mathrm{\partial }Q}{\mathrm{\partial }{\beta }_1}=2\sum _i^n(y_i-{\beta }_0-{\beta }_1{x}_i)(-x_i)=0 \end{gathered}$$

将这两个方程稍微整理一下，使用克莱姆法则，很容易求解得出：

β0=∑x2i∑yi−∑xi∑xiyin∑x2i−(∑xi)2β1=n∑xiyi−∑xi∑yin∑x2i−(∑xi)2$$\begin{gathered} {\beta }_0=\frac{\sum x_i^2\sum y_i-\sum x_i\sum x_i{y}_i}{n\sum x_i^2-(\sum x_i{)}^2} \\ {\beta }_1=\frac{n\sum x_i{y}_i-\sum x_i\sum y_i}{n\sum x_i^2-(\sum x_i{)}^2} \end{gathered}$$

因为求和符号比较多，省略了上标与下标。
根据这个公式，就可以求解出相应的参数。
对应上面的身高体重关系的例子，我们只需要将采样得到的数据，一一代入即可求解。

5.矩阵表达形式

如果我们推广到更一般的情况，假如有更多的模型变量x1,x2,⋯,xm$x^1,x^2,\cdots ,x^m$（注意：x1$x_1$是指 一个样本，x1$x^1$是指样本里的一个模型相关的变量)，可以用线性函数表示如下：

y(x1,⋯,xm;β0,⋯,βm)=β0+β1x1+⋯+βmxm$$y(x^1,\cdots ,x^m;{\beta }_0,\cdots ,{\beta }_m)={\beta }_0+{\beta }_1{x}^1+\cdots +{\beta }_m{x}^m$$

对于n个样本来说，可以用如下线性方程组表示：

β0+β1x11+⋯+βjxj1+⋯+βmxm1=y1β0+β1x12+⋯+βjxj2+⋯+βmxm2=y2⋯β0+β1x1i+⋯+βjxji+⋯+βmxmi=yi⋯β0+β1x1n+⋯+βjxjn+⋯+βmxmn=yn$$\begin{gathered} {\beta }_0+{\beta }_1{x}_1^1+\cdots +{\beta }_j{x}_1^j+\cdots +{\beta }_m{x}_1^m=y_1 \\ {\beta }_0+{\beta }_1{x}_2^1+\cdots +{\beta }_j{x}_2^j+\cdots +{\beta }_m{x}_2^m=y_2 \\ \cdots \\ {\beta }_0+{\beta }_1{x}_i^1+\cdots +{\beta }_j{x}_i^j+\cdots +{\beta }_m{x}_i^m=y_i \\ \cdots \\ {\beta }_0+{\beta }_1{x}_n^1+\cdots +{\beta }_j{x}_n^j+\cdots +{\beta }_m{x}_n^m=y_n \end{gathered}$$

如果将样本矩阵xhi$x_i^h$记为矩阵A,将参数矩阵记为向量β$\beta$，真实值记为向量Y，上述线性方程组可以表示为：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢11⋯1x(1)1x(1)2⋯x(1)n⋯⋯⋯⋯x(m)1x(m)2⋯x(m)n⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⋅⎡⎣⎢⎢⎢⎢β0β1⋯βm⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢y1y2⋯yn⎤⎦⎥⎥⎥⎥$$\left[\begin{array}{cccc}1& x_1^{(1)}& \cdots & x_1^{(m)}\\ 1& x_2^{(1)}& \cdots & x_2^{(m)}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1& x_n^{(1)}& \cdots & x_n^{(m)}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ \cdots \\ {\beta }_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ \cdots \\ y_n\end{array}\right]$$

即Aβ=Y$A\beta =Y$
对于最小二乘来说，最终的矩阵表达形式可以表示为：

min||Aβ−Y||2$$min||A\beta -Y|{|}_2$$

最后的最优解为：

β=(ATA)−1ATY$$\beta =(A^{T}A{)}^{-1}{A}^{T}Y$$

6.注意事项

经典的最小二乘法使用起来够简单粗暴，计算过程也不复杂。但是一个致命的问题就是其对噪声的容忍度很低。试想一下，如果前面我们得到的总采样数据为100个，但是里面有几个大胖子，这几个大胖子就相当于不是普通人的身高-体重系数，他们就是噪声了。如果不采取一些手段对这几个噪声样本进行处理，最后计算出来的身高-体重系数肯定会比正常值要偏大。
对于噪声的处理，比如有加权最小二乘等方法，后续有时间跟大家再讲讲。