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八年级数学全等三角形“半角”模型

2018-06-24  奋搏

一、什么叫半角模型

定义:

我们习惯把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

1、常见的图形

正方形,正三角形,等腰直角三角形等。

2、解题思路

① 将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形;

② 证明与半角形成的三角形全等;

③ 通过全等的性质得出线段之间的数量关系,从而解决问题。

二、基本模型

1、正方形内含半角

例题1、如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,∠EAF=45°,求证:EF=BE+DF。

八年级数学全等三角形“半角”模型

例题1图

证明:

将 △ADF 绕点 A 顺时针旋转 90° ,使点 D 与点 B ,点 F 与点 G 重合 (△ADF ≌ △ABG),如下图所示:

八年级数学全等三角形“半角”模型

例题1旋转图

在 △AGE 和 △AFE 中

∵ AG = AF , ∠GAE = ∠EAF = 45° , AE = AE

∴ △AGE ≌ △AFE ∴ GE = EF

∵ GE = GB + BE = DF + BE

∴ EF= BE + DF

2、等边三角形内含半角

例题2、如图,已知 △ABC 是等边三角形,点 D 是 △ABC 外一点,DB = DC 且 ∠BDC = 120° ,∠EDF = 60° ,DE ,DF 分别

交 AB ,AC 于点 E , F 。

求证: EF = BE + CF

八年级数学全等三角形“半角”模型

例题2图

证明:

将 △BDE 绕点 D 旋转至 △CDG , 使 △BDE ≌ △CDG

(注:题目中已知条件 DB = DC 且 ∠BDC = 120°,易证 ∠EBD = ∠GCD = 90°,F、C、G 三点共线)

八年级数学全等三角形“半角”模型

例题2旋转图

在 △EDF 和 △GDF 中

∵ ED = GD , ∠EDF = ∠GDF = 60° , DF = DF

∴ △EDF ≌ △GDF ∴ EF = GF

∵ GF = GC + CF = BE + CF

∴ EF = BE + CF

3、等腰直角三角形内含半角

例题3、如图,已知 △ABC 是等腰直角三角形,点 D ,E 在 BC 上,且满足 ∠DAE = 45° 。

求证 : DE^2 = BD^2 + CE^2

八年级数学全等三角形“半角”模型

例题3图

证明:

证法一、将 △ABD 绕点 A 旋转到 △ACF ,如下图所示:

八年级数学全等三角形“半角”模型

例题3旋转图

在 △ADE 和 △AFE 中

∵ AD = AF ,∠DAE = ∠FAE = 45° , AE = AE

∴ △ADE ≌ △AFE ∴ DE = FE

∵ ∠ECF = ∠BCA + ∠ACF = ∠BCA + ∠ABD = 90° , CF = BD

∴ EF^2 = EC^2 + CF^2 = BD^2 + CE^2

证法二、将 △ABD 沿着 AD 翻折到 △ADF ,连接 EF ,如下图所示:

八年级数学全等三角形“半角”模型

例题3翻折图

在 △ABD 和 △AFD 中

∵ AB = AF , ∠BAD = ∠FAD , AD = AD

∴ △ABD ≌ △AFD (SAS)

同理可证 : △ACE ≌ △AFE

∴ BD = FD , CE = FE

∵ ∠DFE = ∠DFA + EFA = ∠B + ∠C = 90°

∴ DE^2 =DF^2 + EF^2 = BD^2 + CE^2

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