第11集 平面向量的数量积2018年高考数学天津卷理科第8题

平面向量的数量积问题是高考的重点兼热点，考查题型主要是选择题或填空题，近几年常常以压轴题出现，难度较大。

高考中，有关平面向量的数量积的运算包括三类问题：

（1）利用平面向量的数量积的定义计算几何图形中的相关数量积问题；

（2）利用数量积的坐标运算，建立直角坐标系计算数量积；

（3）由数量积求其中参数的值。

下面以2018年高考数学天津卷理科第8题为例，简述求平面向量的数量积的方法。

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一·套路

二·脑洞

本题考查平面向量的数量积，涉及数量积的坐标运算、二次函数的性质、极化恒等式等知识点，考查分析与应用能力、逻辑推理与计算能力，属于中档题。

法1，由题意，可以建立直角坐标系，将问题转化为坐标运算；然后由数量积的运算得到关于参数的二次函数，利用二次函数的性质求得最值。

法2，借助高等数学中的极化恒等式，将不好计算的数量积问题转化为容易计算的长度问题，然后根据几何图形求得长度的最小值，进而得出结论。

值得说明的是，极化恒等式是一个看似高大上的结论，但其证明并不复杂，也不难理解，它是解决平面向量数量积问题的一把倚天剑，因此掌握此法对解题无疑是如虎添翼。

三·迁移

以平面图形为载体，考查平面数量积的最值问题，是高考中常考的题型，2017年全国2卷理科数学的第12题就考了一道类似的题型，当然无论是坐标法，还是极化恒等式斩杀此题都不是什么难事，就交给聪明的你吧。