旋转的性质与基本模型
【真题再现】
例：（2017年苏州市中考数学第18题）如图，在矩形ABCD中，将∠ABC绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B’C’交CD边于点G．连接BB’、CC’，若AD=7，CG=4，AB’=BG,
【数学眼光】
1.问题
本题以矩形为载体考察旋转后对应点的连线的比值。
2.分析
（1）矩形的相关概念与性质
矩形概念：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
矩形性质：矩形的四个角都是直角等。
（2）旋转的相关概念与性质
旋转概念： 在平面内，将一个图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个定点叫旋转中心.旋转的角度称为旋转角.（包括旋转方向）
旋转性质：旋转前、后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。
（3）相似的相关概念与性质
相似概念： 三角分别相等，三边分别成比例的两个三角形相似。
相似性质:相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
因此，我们可以根据所求旋转后对应点的连线的比值转化为求两个相似三角形的相似比。
3.解答
4. 旋转基本模型
识别基本模型，巧解几何难题
问题1： 如图1，在⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是⊿ABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度数.
分析： 题目已知条件中给出了三条线段的长度和一个直角，但已知的三条线段不在同一三角形中，故可考虑通过旋转变换移至一个三角形中，由于⊿ACB是等腰直角三角形，宜以直角顶点C为旋转中心。
问题 2：直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°,∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+CF2
分析： 本题所要求的结论无法直接用勾股定理，可通过旋转变换将BE，CF转移到同一个直角三角形中，由于⊿BAC是等腰直角三角形，不妨以A为旋转中心，将∠BAE和∠CAF合在一起，取零为整。
问题 3：如图3，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，且∠EBF=45°，BM⊥EF于M，求证：BA=BM
分析： 本题与例2相同之处在于直角三角形家夹有45°角，可利用相同的方法，将∠ABE和∠CBF“化散为整”来构造全等三角形。
5. 拓展延伸
如图在四边形ABCD中，BC=CD,∠BCD=90,AB=4，AD=3，则对角线,AC的最大值为 cm.
分析： 苏州工业园区的初二同学是不是看到本题很熟悉，没错，这就是本学期期末调研第18题。如果能够想到构造旋转模型，问题就解决了！
6 、小结
旋转法是在图形具有公共端点的相等的线段特征时，可以把图形的某部分绕相等的线段的公共端点，旋转另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形等图形中。
|
