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对这个问题,一位著名的物理学家在一篇论文的审稿报告中已给出肯定的回答，而该论文的作者是一位著名的数学家。  下面的内容与我2006年5月在罗格斯大学参加的第95届统计物理学会议中圆桌讨论上的发言密切相关，这次会议由J.Lebowitz组织，主题是“数学在自然科学中不可思议的有效性”，这是Eugene Wigner在纽约大学作Courant讲座的标题，那是在近50年前的1959年5月11日。这个近期的圆桌讨论的其他参与者是Ph.Anderson，F.Dyson和E.Witten，主持人是M.Fisher。Wigner在CPAM,vol.13,No.1发表了一篇同一标题的文章，以下文的故事开头。 有这样一个年轻的统计学家，正致力于解决人口增长问题，他给他的朋友讲他遇到的问题以及引出的结论。他的朋友问他公式中的π代表什么，他说π是半径为1的圆的面积。他朋友诧异道，“你是想说服我人口增长与圆的面积有共同之处吗？” 在文章的末尾，Wigner写到： “公式中的数学语言是符合物理法则的，其适应性的奥秘是我们永远无法理解和拥有的绝妙礼物，对于我们来说无论怎样，哪怕会使我们对知识广袤的分支更加迷惑，我们都应该对此心怀感激并希望其在以后的研究中仍然起作用。” 在这篇文章发表的几年前，Wigner还发表了关于随机矩阵的著名文章。如果没有代数几何和拓扑，实在很难想象出现代理论物理会是什么样子。从另一方面来说，理论物理学，尤其是弦论，为数学的相关部分提供了许多漂亮而重要的问题。然而，物理学家并非一直很欣赏数学。俄罗斯领头的物理学家L.Landau有一次说，Ya.Frenkel才是俄罗斯最优秀的物理学家，因为他在文章中只用二次方程就能解决问题。而Landau本人则稍逊一筹，因为有时他还需要用到常微分方程。著名的Landau理论物理最低限度考试（Landau theoretical minimum）的数学部分，仅仅包括积分、多元微积分和常微分方程方面的问题。同样的数学言论也贯穿于R.Feynman编写的教科书中。对此，数学家的反应是(I.M.Gelfand的)下述说法：物理学家对数学，就像罪犯对刑法一样无视。这种仇恨的一些原因是很明显的。数学上占主导地位的方式是基于公理化方法、ε-δ证明和极度严谨，而物理学中有基于微扰理论、图等的复杂方案的主导潮流，对于传统的数学家来说，这是很难接受的。很显然，这是个冷酷的猫-狗对峙时代。  后来，数学家开始频繁参加物理讨论班，能深刻理解物理问题的数学家的数量，在一两代内很明显地增加。原因是，在50年代末期，当时的物理学家发现，可以从现代数学中找到他们还不会的有用知识。我举两个与著名的KAM理论相关的例子。（注：KAM＝Kolmogorov–Arnold–Moser ）一位物理学家告诉我，KAM理论是如此自然，它肯定曾经被物理学家发现。在50年代末期两位著名的俄国物理学家L. A.Arzimovich和M. A. Leontovich来到Kolmogorov在莫斯科国立大学主持的研讨班，解释磁曲面存在的问题，这在当时非常重要。实验物理学家L. A.Arzimovich是报告人，他的演讲非常清楚，而且富有启发性。之后不久，V. Arnold就用KAM理论解决了这个基本的问题。这一事件，可以认为是冷酷的猫-狗对峙时期的终结。 我认为，数学作为一个可以解决物理问题的学科，与物理进行有规律的或多或少的接触是重要且有益的。我以前与I. M. Lifshitz常常见面，他是当时领头的理论物理学家。我们第一次见面的时候他问我我的职业，当我回答遍历理论时他评论说：“遍历理论就是解释每一根鞋带迟早会松掉的理论。”在我的第二次拜访中，我试着解释我和我的学生对于低温下晶格模型相图的结果，他一开始还在听，但是紧接着就指出那些都是很简单很明显的，然后他写了一些公式推导出了我们的结果，于是我很尴尬地离开了。只是在一段时间以后我才意识到，他当时用的配分函数的对数，是我们理论的最终而且是最困难的结果。 当我们向I. M. Gelfand解释我们的结果时，得到了同样的反应，他评论说，对于物理学家来说，所有的东西都必须是显然的。然而当我们问，那我们是否应该写一本书详细阐述整个理论，他回答“当然了。” 也有许多其他的情形，物理学家的反应很惊诧，而数学家则是完全不同的反应。一次，我自美国旅行回到莫斯科，向一个物理学家朋友解释我从T. Spencer那里听到的一个假设，关于没有KAM-岛屿的标准地图的参数值的丰富性的假说。他想了一会儿然后说：“这肯定是个很棒的数学定理，因为我们物理学家从来没有见过。”然而一段时间后，他在他后续的一部公开出版物中写道，众所周知，标准地图具有参数值使得岛屿不存在。 有时候数学家把物理学家的描述和结果理解得太字面化。很多年前，M. Berry和M. Tabor写过一篇文章，断言可积度量的拉普拉斯算子的相邻特征值的间距收敛到泊松律。从概率论角度来说，这种阐述十分诱人，我花了几年试着去证明它，最后我只能证出它对随机的可积度量成立。据我所知，对具体的度量，还没有任何证明。我最近还和一个物理学家讨论过这一问题，他说他们能够理解，在泊松律下，当间距趋近于0时，第二个相关函数趋近于一个正的的极限。很明显，这就蕴含排斥能级的不存在，这才是要点所在。而这是一个在一般条件下很容易证明的、简单得多的定理。 现在邀请数学家参加物理学家的研讨班已经变得很寻常。一次理论物理的大型研讨班结束后，主席问我关于我的结果对实验物理学的可能应用。我回答，理论物理学对我的作用，正如实验物理对他的作用。这并不是开玩笑。通常除非我找到自己的证明或至少一个解释，我才能相信物理学家的结果，因此，理论物理学的很大一部分我还不能理解。已故的老友R. L. Dobrushin曾评论说，每个数学家都创建了他自己的理论物理学。这当然是一个夸张的说法。然而数学家和物理学家间确实非常不同，并且有一道边界将他们分开。这个边界是非常个人化的，而且是每个人自己选择的。  注：本文作者是普林斯顿大学数学教授，Wolf数学奖和Abel奖等诸多奖项的得主。原文标题Mathematicians and physicists = Cats and Dogs?" in Bulletin of the AMS. 2006, vol. 4. 中文由西北农林科技大学资环学院水保专业李想同学翻译，编辑时略有改动。感谢李想同学投稿。 |
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