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持续学习:数学分析之函数的连续性

2018-07-10  当以读书...

持续学习:数学分析之函数的连续性

在上一篇文中,学习了函数与函数极限,其中有讲到函数的四种特性:奇偶性,单调性,周期性和有界性。

今天来学习函数的另一个重要概念--连续性。直观的表现是其函数图像在某点的邻域有定义,图像不断开。我们之前学的基本初等函数都是连续函数。

第1节,讲的连续的概念,和连续函数的概念:

  • 函数的点x0连续的定义:lim f(x)=f(x0) x->x0 ,这是使用了函数极限来描述函数的点连续,这也是安排本节在函数极限之后的原因。当然,也可以改为使用增量配合ε-σ的描述法:Δy = f(x)-f(x0);lim Δy= 0 Δx->0
  • 函数的点连续分为左连续与右连续
  • 当连续点组成连续区间时,函数就存在区间连续,函数区间连续细分为开区间连续,闭区间连续,半开半闭区间连续

根据矛盾成对出现原则,有连续就会有间断

第2节,讲的就是函数间断的概念:

  • 函数的间断点:就是函数不连续的点,可以分为:
  • 第一类间断点:包括可去间断点和跳跃间断点,这类间断点特征是函数在该点的左右极限都存在
  • 第二类间断点:在间断点x0中,lim f(x) x->x0- 与 lim f(x) x->x0+ 至少有一个不存在,即点的左极限与右极限至少有一个不存在
  • 间断点定理:若f(x)在去区间(a,b)内单调,且x0∈(a,b)是f(x)的间断点,则x0必是跳跃间断点

持续学习:数学分析之函数的连续性

第3节,讲连续函数的局部性质:从函数极限的性质可以推出连续函数的局部性质

  • 局部有界性
  • 保不等式性
  • 局部保号性
  • 满足四则运算条件的四则运算法则(加减乘除)
  • 复合函数的极限定理:limf(g(x)) x->x0 = f(lim g(x) x-x0) =f(u0) ,其中u0=lim g(x) x-x0
  • 复合函数的连续性,既然复合函数存在极限定理,同理也就可以利用复合函数的极限来描述复合函数的连续性。

特别地,谈谈基本初等函数的连续性:之所以称他们为基本初等函数,是因为他们都具有多数的函数的典型特性

  • 反函数连续定理:若函数在闭区间严格单调且连续,则其反函数在其定义域上连续
  • 定理:所有基本初等函数都在其定义域内连续
  • 定理:一切初等函数都在其定义区间上连续

函数的连续性很重要,因为可以用来求极限,还与后续的微分关系很大

持续学习:数学分析之函数的连续性

​第4节,讲函数的整体性质:

  • 有界性定理:函数在闭区间连续,则在此区间有界。该定理关联了函数的有界性和连续性。特别注意必须是闭区间
  • 最值的概念:分为最大值和最小值,很容易理解的概念,不过多解释
  • 最值定理:函数在闭区间连续,则函数在此区间有最值(最大与最小)。也是只对闭区间成立
  • 零点定理:若f(x)在[a,b]上连续,且f(a).f(b)<>
  • 介值定理:若f(x)在[a,b]上连续,且f(a)≠f(b),u是介于f(a),f(b)的任何实数,则存在x0属于(a,b),使得f(x0)=u
  • 连续性推论:若函数在区间上连续,且不是常值函数,则函数的值域是一个区间
  • 一致性连续:是指函数在区间上每一点都连续。因为函数的连续性是函数的局部性质,是点态的。
  • 刻画一致连续:设f(x)在区间I上有定义,若对任意ε>0,存在σ=σ(ε)>0,使得对任何x1,x2∈I ,只要|x1-x2|<><ε>
  • 函数的一致连续使得函数的连续性从点态变为了区间态,这种加强了条件的连续,带来了新的性质:
  • 1)若 f(x) ,g(x)都在区间I上一致连续,那么f(x)±g(x)也在I上一致连续
  • 2)若f(x)在区间I上一致连续,J是I的子区间,那么f(x)在J上一致连续
  • 3)一致连续性定理:若函数在闭区间上连续,则函数在该区间一致连续。该定理通过闭区间条件,沟通了连续与一致连续

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