300年辉煌：计算尺传奇

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　　自17世纪初问世以来，计算尺一直是使用最为广泛的计算工具，在科学和工程计算中占据统治地位，辉煌了三百余年，对人类文明的进程功不可没。但是，由于它的计算精度有限，在20世纪中期以后，计算尺逐渐被电子计算器取代，成了一代“没落贵族”，很少有人问津。

　　大约五六十年以前，人们一眼就可以看出谁是工程师：他们身着千篇一律的白衬衫，系着窄领带，带着笔套和计算尺(sliderule)。后来，衬衫和领带演变成了印着某些软件广告的T 恤，笔套被手机皮套所取代，而计算尺则变成了电子计算器。

　　把你30年前收藏在抽屉中的计算尺翻出来再看一眼吧。如果它已经杳无踪迹，你不妨自己动手再做一把。仔细审视一番，你就会明白它为何一度如此受人珍爱。

　　在20世纪70年代以前，计算尺与打字机和油印机一样普遍。把计算尺拉来拉去摆弄几秒钟，科学家和工程师便可求得乘法、除法、开平方和开立方的结果。再多费点功夫，还可计算比例、倒数、正弦、余弦和正切等。

　　计算尺上刻有十几种函数标尺，令人眼花缭乱，似乎象征着高深莫测的科学奥秘。然而，事实上只需要两种标尺便可完成大多数计算工作——归根结底，许多技术问题都可简化为乘法和除法。钢琴家在演奏时，可能会弹到钢琴键盘上的绝大多数琴键，但很少有工程师会用到他的（为何不是“她的”呢？因为当时女性工程师罕如凤毛麟角）计算尺上的所有标尺。

　　有些工程师或许一心巴望着升官晋级、飞黄腾达，连他们的计算尺也是用珍贵的异国桃花心木或黄杨木制成的；还有些工程师洋洋得意地炫耀着用象牙、铝或纤维玻璃钢制成的计算尺。而像笔者这等专淘便宜货的“吝啬鬼”，则只有使用塑料计算尺的份了。但无论是最精美的还是最粗陋的计算尺，都万变不离其宗，全都以对数(logarithm)原理为基础。

　　

初出茅庐

　　

　　1614年，苏格兰数学家、物理学家兼天文学家约翰·纳皮尔(JohnNapier)发明了对数。他在《对数原理》(CanonofLogarithms)一书中，开篇便这样写道：“在数学实践中，没有比大数的乘法、除法、开平方和开立方更麻烦、更令人头疼、更碍手碍脚的计算了。这类计算问题，除了要花费大量时间外，还很容易产生许多不易觉察的错误。因此，我就开始考虑有没有什么可靠的、现成的技巧，可以用来帮助我们搬开这些障碍。”

　　不错，对数——这个现在人们一听到就头痛的高中代数概念，其实当初就是为了让我们生活得更轻松而创造出来的。几代人之后，当人们听说电脑原来是为了让我们生活得更舒适更惬意而发明出来的时，多半也会感到同样吃惊吧。

　　那么，纳皮尔的对数是如何操作的呢？且听这位发明家自己的解释：“把要做乘法、除法和开方运算的那些数字从算题中拿掉，换上其他一些数字。通过加法、减法、以2或3为除数的除法等简单运算来完成算题的计算。”

　　这就是说，利用对数，我们可以把乘法简化为加法，除法简化为减法，求平方转化为以2为除数的除法，求立方简化为以3为除数的除法。例如，要计算3.8×6.61，可以先在对数表中查出这两个数的对数，结果是0.58和0.82，然后把这两个对数相加，得1.4，最后再查一下对数表，看看哪个数是1.4，这样就是得出了3.8×6.61的近似值：25.12。让那些不易觉察的错误统统滚开吧！

　　纳皮尔的发明是数学史上一项革命性创举，数学家们立刻采用对数来加快自己的计算速度。17世纪初，德国天文学家约翰内斯·开普勒（JohannesKepler）运用这些当时堪称现代的对数来推算火星的轨道。没有对数的帮助，他也许就永远无法发现“开普勒定律”——行星运动三定律（threelawsofcelestialmechanics）。英国当时最杰出的数学家亨利·布里格斯（HenryBriggs）专程到苏格兰去会晤纳皮尔。他在自我介绍时这样说：“阁下，我大老远赶到这里来，就是特地要拜访你本人，看看你是凭着一种什么样的智慧或天才，率先想出了如此绝妙的方法来帮助天文学……我感到纳闷的是，现在看来如此简单、如此容易的东西，为什么当初其他人就没有想到呢？”布里格斯不愧慧眼识英才，纳皮尔再接再厉，发明了小数点和计算棒（称为纳皮尔棒），并为伊萨克·牛顿的微积分学（calculus）奠定了基础。

　　纳皮尔简化了计算任务，但应用他的方法来进行计算，有一个重要的前提，那就是必须能便捷地查看对数表。1620年，英国伦敦的数学家埃德蒙·甘特（EdmundGunter）把对数刻在一把尺子上，这样他那些从事计算的同事无须跑图书馆也能查到对数了。甘特把数字标在一条直线上，各个数的位置与其对数值成比例。在他的标尺上，越到左边，数字分布就越稀；越到右边，数字分布越密。有了这把尺子，两个数的乘法就可以这样来完成：用一把两脚规量出尺子的起点到第一个因数的距离，然后使两脚规张开角度保持不变，把一只脚移到第二个因数的位置上，这时，另一只脚所指示的位置就对应于两段距离之和，此位置上的读数就是两数相乘的结果。

　　大约在1622年，英国圣公会牧师威廉·奥特雷德（WilliamOughtred）把两根木制对数标尺并排放在一起，创造出了世界上第一把计算尺。几年后，他又发明了圆形计算尺。奥特雷德没有大肆宣扬他的这些发明，他喜欢钻研纯数学，可能觉得这些发明没有多大价值。毕竟，数学家往往只热衷于建立方程，而对应用方程则不甚关心，其实这种情况直到今天也仍然如此：某些人开发出了新的科学成果，但要转化为能创收的实用发明，则需要其他人找到这些成果的实际用途。

　　不管是什么原因，反正奥特雷德没有公布他发明计算尺的消息。但他的一位学生理查德·德拉梅因（RichardDelamain）在1630年发表的一本小册子中却声称，是自己发明了圆形计算尺。身为工程师而非数学家的德拉梅因醉心于计算尺便携的优点，他写道：“计算尺既适合在步行时使用，也适合在马背上使用。”

　　看到自己的功劳被一笔抹杀，奥特雷德便怒不可遏，他鼓动一帮朋友对德拉梅因口诛笔伐，骂他“恬不知耻”、“窃取别人的智慧”。这场争论一直持续到德拉梅因与世长辞方告平息，争论双方可以说是两败俱伤。奥特雷德后来写道：“这件事情真是晦气，使我蒙受了很大的损失。”

　　

百花齐放

　　

　　有了奥特雷德的发明在手，人们就可以告别对数表，甚至连什么是对数都不用知道。要做乘法，只须拉拉计算尺，对一下两个因数的位置，便可读出得数，计算尺堪称操作快捷，携带方便，真正自动地“抛开了数字”。

　　虽然计算尺构思精巧、方便实用，但却经过了整整两个世纪才流行开来。直到1850年，英国数学家奥古斯都·德·摩根（AugustusdeMorgan）还在悲叹计算尺受到的抵制：“只需花区区几先令，大多数人便可把一种比他们自己的头脑强数百倍的计算工具纳入囊中，可他们就是不愿意。”

　　19世纪前半期，计算尺得到了若干改进和发展。1814年，彼得·罗吉特（PeterRoget，百科全书的开创者）在向英国皇家学会成员发表演讲时，介绍了他的发明——双对数计算尺。有了这项工具，他可以不费吹灰之力地求分数次幂或开分数次方，例如计算30.6的2.7次方（30.62.7）等。然而直到20世纪，双对数计算尺的价值才获得充分的认识，因为这时，化学家、电气工程师和物理学家们所遇到的数学计算越来越复杂，普通计算尺已不能胜任了。

　　一位年仅19岁的法国炮兵中尉阿梅代·马内姆，对于计算尺的普及起了重大作用。1850年，马内姆选出四种用得最频繁的对数标尺，并加上一个游标（即用来使计算尺上数字对齐的滑动指标）。不到几年，法国陆军就采用了他的这项发明。试想，当普鲁士步兵向法军发起进攻时，谁还有工夫用长除法（longdivision）来计算该把大炮瞄向何处？

　　欧洲各国的工程师、测绘员、化学家和天文学家，逐渐都用上了经马内姆改进的计算尺。第一次世界大战后，美国科学家也开始采用这种计算尺。所有计算尺（最便宜的除外）都有平方和平方根的值；大多数计算尺也可以计算立方、立方根、倒数、正弦和正切。比较高级的计算尺可能还有双曲函数（hyperbolicfunction），以帮助电气工程师计算向量（vector），或帮助结构工程师确定悬链线（catenary）的形状——悬链线是诸如悬索桥之类的建筑工程中的要素。为了提高计算尺的精度，生产计算尺的厂商们各显神通，想出了种种招数，比如，为了更准确地判断标尺的位置，在计算尺上加一块放大镜，把计算尺的刻度线铭刻得越来越细，加大计算尺的长度等。各种奇形怪状的计算尺也纷纷登场，包括圆形、螺旋形、盘形和圆柱形计算尺。

　　1921年，伦敦工程师奥蒂斯·金（OtisKing）制成了一把可以放进口袋的圆柱形计算尺。它的直径为1英寸（约合2.5厘米），上面环绕着一条长5英尺（约合1.5米）长的螺旋形对数标尺。此计算尺的精度达到4位数字，令工程师们大开眼界。如果要使计算结果更加准确，科学家们可以使用天王级高精度计算尺——富勒尺(Fuller’sRule）。这种计算尺为1 英尺（约合0.35米）长的圆柱体，上面盘绕着一条41英尺（约合12.5米）长的螺旋形对数标尺。利用特制的游标，富勒尺进行算术运算的精度可达5位数字，与长度为83英尺（约合25.3米）的对数标尺精度相仿。乍看到这件精巧的玩意儿，不知底细的人还以为它是一根雕花擀面杖。

　　由于几乎没有替代工具可选择，科技人员便逐渐习惯了计算尺。为了加快计算速度，计算尺制造商也在计算尺上增加了其他各种标记和符号。通常，计算尺上标有π、π/4、常数e（自然对数的底）等，有时游标（cursormark）还可以把英寸换算为厘米，或把马力换算为瓦。各种专用计算尺也应运而生：供化学家使用的计算尺上标有分子量（molecularweight）；供造船工程师使用的计算尺上可查到水压公式；而供原子弹设计人员使用的计算尺上，则标出了放射性衰变常数（radioactivedecayconstant）的值。

　　到1945年，在工程师一族中，双对数复式计算尺已经相当普及了。这种计算尺每一面有十几种标尺，利用它可以轻而易举地求出一个数的任意次方，并计算正弦、余弦和双曲三角函数等。第二次世界大战期间，美国轰炸机的投弹手和领航员在需要迅速计算时，就常常求助于专用计算尺。美国海军设计了一种通用的计算尺“底盘”，盘身为铝制，带有一个塑料游标，将不同的赛璐珞制成的卡片插入底盘中，便可进行各种专门计算，如计算飞机的航程、耗油和高度等。

　　到20世纪60年代，计算尺已经成为科技人员不可或缺的工具了。工科院校开设了为期一周的计算尺课程，学生不参加就难以拿到毕业证书。在每所院校的电气工程系里，计算尺被装在皮套中，挂在腰带上，成为一道随处可见的风景线。有些学生更为时髦，甚至戴着计算尺形状的领带夹招摇过市。在学术讨论会上，你可以看出谁在手持计算尺进行计算，核对发言者的数据；高科技公司则把印有本公司标志的计算尺当作礼物，赠送给客户或将来有意加盟的求职者。

　　

全盛时期

　　

　　计算尺为许多杰出的工程设计成就立下了汗马功劳，这里我们只略举几例：纽约帝国大厦、胡佛大坝、金门桥的悬索、液压汽车变速器、晶体管收音机、波音707客机等等。德国V2火箭和美国土星5号助推火箭的设计者沃纳·冯·布劳恩（WernhervonBraun），使用的是一把德国Nestler公司出品的相当简陋的计算尺；在每次阿波罗登月行动中，宇航员们都携带了 Pickett公司生产的计算尺，把它作为备用的计算工具。苏联工程师谢尔盖·科罗廖夫（SergeiKorolev）在设计人造地球卫星和东方号宇宙飞船时，使用了Nestle计算尺；阿尔伯特·爱因斯坦对计算尺也是情有独钟、爱不释手。

　　然而计算尺有一个致命缺陷：标准计算尺通常只能达到3位数字的精度。如果你是在计算需要向一个孔里浇注多少混凝土时，那么这样的精度或许就够了，但如果你需要控制飞出月球轨道之外的宇宙飞船的航向，那么3位数的精度显然不够高。更糟的是，你必须始终留意小数位（decimalplace）。用计算尺计算时，小数位不容易掌握，比如说当游丝指着3.46这个数时，它不一定就是代表3.46，也可能代表34.6，3,460或0.00346等等。

　　难以捉摸的小数位提醒所有够格的工程师，必须反复核对计算尺得出的结果：首先要估算出一个大致答案，然后把它同游标所指示的得数相比较。这种要求所带来的结果，就是使用计算尺的人对数据有更直接的感受，知道有舍入误差和系统偏差存在，而现在使用电脑设计程序进行计算的人，则很难有这样的体验。随便同一位20世纪50年代当过工程师的朋友交谈，他多半会感叹那个时候的计算任务离不开对相关问题的深刻理解，还必须掌握相关物理概念（如负荷与压力，电压与电流，角度与距离等）的微妙意义，哪像现在的工程师那样，只要在键盘上猛敲一阵，把数据输入到电脑程序中就万事大吉了。通过手算得出数字答案，意味着要借助丰富的知识和细致的分析来解决问题，而不能单纯地死啃数据。

　　不过，既然计算方便始终是人们追求的目标，而计算尺精度较差又是一个不得不面对的现实，数学家们一直都在考虑如何使复杂的问题变得简单一些。在计算尺上，由于线性方程（linearequation）比复杂函数容易处理，科学家们便想方设法把数学关系转化为线性形式，这就常常要求忽略高阶项。例如，汽车设计师在计算耗油量时，可能只考虑发动机的功率，而对于空气的摩擦阻力如何随速度而变化之类的因素，则统统忽略不计。通过长期实践，工程师们总结出了许多简捷算法和经验公式，这些技巧如能充分发挥作用，那么将有助于节约时间，增进对问题的认识和理解。而负面作用，则是近似的计算方法有可能掩盖错误，导致严重的偏差。

　　由于工程师们的计算可能存在这样那样的漏洞，因此他们理所当然都走比较保险的设计路线：墙造得越厚越好，机翼造得越重越好，桥梁造得越坚固越好，总之一切都超过需要，多多益善。在这种宁过头勿不足的设计思想指导下设计制造出来的东西，往往坚牢可靠，经久耐用，但其代价也十分高昂——它们一般都粗壮笨重、性能较差，而且有时操作不灵。

　　要学会使用计算尺并不容易，这妨碍了计算尺在平民大众中的普及。诚然，临时充当杂货店经理的人也用计算尺来计算折扣，而且，笔者也曾发现自己的高中英文教师在学生自修课期间也用计算尺，计算赛马三合彩中奖者的统计数字。但由于不能用计算尺作简单的加减法，而且一般人哪有耐心去始终留意小数点的位置，因此计算尺从来就没有进入到我们的日常生活中，它始终都是科技人员手中的工具。

寿终正寝

　　20世纪前半期，齿轮式机械计算器曾经是计算尺的主要竞争对手。但到了20世纪60年代初，电子技术闯入了这一领域。1963年，美国加利福尼亚州圣林德罗市的罗伯特·拉根（RobertRagen）开发出了最早一代晶体管电子计算器——Friden130。这种台式计算器拥有四项功能，可以不声不响地得出精度达 12位数字的计算结果，令工程师们啧啧称奇。据拉根回忆，他是完全靠模拟计算工具设计出这个神奇的电子玩意儿的：“从晶体管栅流到存储器延迟线，整个电路全靠我在一把Keuffel&Esser公司生产的计算尺上完成。”或许可以说，正是计算尺帮助人们设计出了那种最终把它送进历史博物馆的工具。

　　到20世纪60年代末，人们只花几百美元便可买到一台便携式四功能计算器。1972年，惠普公司推出了第一种袖珍型科学计算器HP-35，这种电子计算器不但拥有计算尺的所有功能，而且还增加了一些新功能。该计算器的说明书宣称：“我们开发HP-35的目的，就是要为你提供一种高精度的便携式电子计算尺。我们认为，你肯定想搞到一件只有詹姆斯·邦德、沃尔特·米蒂或迪克·特雷西等传奇英雄才配拥有的神奇工具。”

　　其他数十家厂商迅即跟进：得克萨斯仪器公司把他们制造的计算器称为“滑尺计算器”；Faber-Castell公司则推出了一种背面装有电子计算器的计算尺。

　　电子计算器最终颠覆了计算尺的统治。1975年，Keuffel&Esser公司关闭了计算尺生产线，所有其他著名计算尺生产商——Post、Aristo、Faber- Castell和Pickett等，无一不纷纷起而效仿。在经过长期生产后（总共制造了约4000万把计算尺），计算尺时代终于走到了尽头。它被打入了冷宫，几乎销声匿迹，而五位对数表和笔套也成了它的难兄难弟，从此不再有人问津。

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