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想要深入学习近代数学知识，微积分是不可缺少的重要工具。甚止可以说，没有微积分就基本上没有现代科技。世界上任何国家的教育，都把微积分做为必修的重要内容。这就是为什么我们在视频上总会看到台湾教授，美国教授以及科学大神扬振宁不厌其烦的讲解微积分的有关知识。 在现行教材中，极限的概念是微积分的基础，为着加深理解，不妨从不同的角度进行探讨，以供有兴趣的亲们参考，欢迎在评论区反馈宝贵意见。 在平面坐标糸的橫轴上，当变量x无限趋近于3时，它的极限是3，设ε是个无穷小量，因为在3-ε与变量x之间有无穷多个数，变量x永远无法走完这无穷多的量，所以3-ε同样是变量x的极限，所有大于3的数也可视为是变量的极限，即是说极限值不是唯一的。 设置极限的目的是为了便于求导，积分，其实也可以另辟溪径。 从字面上容易理解，积分就是对于微观量的求和，那么什么是微观量?简略的说，微量是一种足够充分小的量，就测量所能达到的精确度而言，相对于宏观量可以忽略不计，譬如锥体的表面看起来非常光滑，从微观上看锥体从尖端至底部实际上是由半径依次逐渐增大的圆台组成，圆台半径的增量dr=θ，θ就是微观量，宏观上我们测不出微量θ，因此从宏观的角度考察就有任意宏观量R+θ=R，即是说，从宏观上看，θ是一个可以等效为零的微观数，但是微观量θ在积分或求导时很有用。例如: 计算圆的面积 设圆可以分解为n层圆环，第讠层环宽为 rⅰ/n =θr，内径长 2π(ⅰ-1)rθ，外径长 2πirθ，平均长度 1/2 [2π(ⅰ-1)rθ+2πirθ]=πrθ(2i-1) 第i层圆环面积 Si=πrθ(2i-1)rθ = πr²θ²(2i-1) (i=1，2，……，n) 各层圆环面积之和构成圆面积。 S =πr²θ²(1+3+5+……+ 2n-1) =πr²n²θ² = πr² (θ=1/n，nθ=1) 计算圆锥体积 圆锥分为n层薄圆片，第i层体积 vi=π(irθ)²hθ， h为圆锥高度，i=1，2，……，n，各变圆片体积之和构成圆锥体积， 故 Ⅴ=π(ⅰrθ)²hθ =πr²hθ³(1²+2²+3²+……+n²) =πr²hθ³(1/3n³+1/2 n²+1/6 n)， ， =1/3 πr²h 微分的意思是说自变量x有微增量时，函数有相应的微增量(线性主部)，函数在此处连续，可导。 求函数y=x²的导(函)数 在自变量x的邻域各取点(x+θ，(x+θ)²)，(x-θ，(x-θ)²) 由两点式取得函数在x处的切线的斜率 y’=(x+θ)²-(x-θ)² / (x+θ)-(x-θ) =4x²θ/ 2θ = 2x² 求y=sinx的导数 y’=(sin(x+θ))-(sin(x-θ) ) / (x+θ)- (x-θ) = 2cosxsiθ/2θ =cosxsinθ/θ = cosx (sinθ/θ =1)
曲线的长度 设自变量在x处横坐标的增量为dx=1θ，函数在纵坐标方向上的增量则为f’(x)dx， y’=dy/dx，dx为微三角形的底边，dy为对边，斜边的长近似为曲线上(x，fx)处的弧长，ds=(1+f’²(x))½， 曲线的孤长 s=∫(1+f’²(x))½dx 舸暇
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