一、表述方式的多样性1.高中阶段：①代数式：2.大学阶段：④积分式⑥……⑤期望式③三角式：②向量式：——重要性：(①2＋②2＋③2)≥(①＋②＋③)21.上述众多的表述方式，说明了Cauchy不等式的重要性(①2＋②2)≥(①＋②)22.必须要掌握的是：二维和三维形式的Cauchy不等式一、表述方式的多样性——重要性：二、证明方法的多样性——重要性：1.配方法(n配方)：3.数学归纳法：2.判别式法(构造二次函数法)：5.均值不等式法：4.向量法：7.琴生不等式法：6.排序不等式法：8.换元(参量)法：9.其他法……练习1.Cauchy不等式的证明：(1).向量法证明Cauchy不等式：证：设而又所以证：设二次函数又因故二次函数的判别式在R上恒成立整理得，即(2).判别式法(构造二次函数法)证明Cauchy不等式：一、表述方式的多样性——重要性：二、证明方法的多样性——重要性：三、用途的广泛性——重要性：1.求最值：2.证不等式(等式)：3.解不等式(等式)：四、用法的灵活性：常见变形要知晓配凑技巧拆添换练习2.Cauchy不等式常见的变形：(3)局部Cauchy不等式:(①＋②)≥(①＋②)2(①+②+③)≥(①+②+③)2若，○≥0，则iCauchy不等式的一般式中，，○≥0i，○∈Ri而局部Cauchy不等式中，要求：盖起名为局部的缘由吧和积≥积开和方(4)权方和不等式——分数形式:若，○≥0，则i①③②≥①+②+③①③②≥①＋②＋③练习2.Cauchy不等式常见的变形：(3)局部Cauchy不等式:和积≥积开和方(4)权方和不等式——分数形式:若，○≥0，则i①③②≥①+②+③证：因，○≥0，由柯西不等式易得i①③②≥()(①+②+③)整理得①③②≥①+②+③§290柯西不等式简介一、表述方式的多样性——重要性：二、证明方法的多样性——重要性：三、用途的广泛性——重要性：四、用法的灵活性：不等式概述1.性质是基础概念性质应用解不等式证不等式求最值2.多多益善十四条文字背诵是关键1.基本性质①大小的定义②对称性③传递性如果a-b是正数，那么a＞b；如果a-b是等于零，那么a=b；如果a-b是负数，那么a＜b；如果a＞b,b＞c,那么a＞c如果a>b，那么bb?a＞bb＜aa>b，b>c?a>c⑴对一个不等式的运算(变形)④加(减):如果a>b，那么a+c>b+c⑤乘(除)：如果a>b,且c>0,那么ac>bc如果a>b,且c<0,那么acb,c>0?ac>bca>b?a+c>b+ca>b,c<0?acb，且c>d，那么a+c>b+d⑨同号可倒：⑧乘：a>b，c>d?a+c>b+d如果a>b>0，且c>d>0，那么ac>bda>b>0，c>d>0?ac>bd若a>b,ab>0,则注1.若2个不等式需进行减(除)运算，一般是转换成加(乘)注2.若变量间具有约束关系时，等号没有可加(乘)性⑦加：同向可正值同向可3.重要的(经典)不等式⑩11均值不等式：(调和平均值)(几何平均值)(幂平均值)(算数平均值)当且仅当a=b=c时，“=”成立(当且仅当○=□时等号成立)□2+○2≥±2□○当且仅当□=○时等号成立二元的均值不等式若□,○∈R+,则21□○1+□○2□○+≤□2+○2注1：使用前提是正数当且仅当等相连放缩消元变结构应用特例求最值注2：与对号函数的关联或注3：即12三角形(绝对值)不等式|□1±□2±□3……□n|≤|□1|+|□2|+|□3|+……+|□n||□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|2.形：1.数：注：去绝对值符号常见的方法：①零点分段法⑤几何意义——距离数法形法②平方法④⊿不等式法③换元法⑥函数图像——翻折……(零点分段法的基础)几何意义——距离(实数,复数,向量)绝对值的概念2.|□|-|○|≤|□±○|≤|□|+|○|注1.放缩换序增减号特例消元求最值注2.拍扁三角取等号同号异号是关键“=”成立的条件：①中间“＋”时,右侧取“=”的条件是“□○≥0”②中间“－”时,右侧取“=”的条条件是“□○≤0”左侧取“=”的条件是“□○≤0且|□|≥|○|”左侧取“=”的条件是“□○≥0且|□|≥|○|”1.|□·○|=|□|·|○||○||□|○□=|□|=□2；；绝对值的性质13柯西不等式i：一般式ii：向量式方和积≥积方和14排序不等式反序和≤乱序和≤顺序和15伯努利不等式参课本P：51～52ⅰ:若x＞-1,且α≤0或α≥1，则ⅱ:若x＞-1,且0≤α≤1，则(当且仅当n=1时等号成立)如果x是实数,且x＞-1,x≠0,且n为大于1的自然数,则注：伯努利不等式常见的推论：ⅲ:若xi＞-1,则糖水不等式(调日术，插值定理)若,a,b,c,d,m,n＞0,则特例2：若,a,b,m＞0,则特例1：若,a,b,m＞0,则用化学溶液的浓度：解释此不等式，是显然成立的①设f(x)是(a,b)内的凸函数,则对于(a,b)内任意的n个实数琴生(Jensen)不等式,有当且仅当时取等号②设f(x)是(a,b)内的凹函数,则对于(a,b)内任意的n个实数,有当且仅当时取等号数法：形法：①比较法②分析法③综合法④反证法⑤数归法⑥放缩法⑦函数法⑧……法证明不等式常用的方法数法：形法：函数图象最值定理（均值不等式）线性规划函数法（导数法）求最值常用的方法形法数法“纯”不等式法函数法函数图象线性规划其他图象解不等式常用的方法一般的，不等式解集的端点值是方程的根数法形法解绝对值不等式常用的方法①几何意义法②辅助函数图象法③公式法④零点分段法⑤平方法⑥换元法⑦增号法去号法解绝对值不等式的两个基本题型|f(x)|g(x)型|k1x+b1|±|k2x+b2|常数型|f(x)|＞g(x)f(x)＜-g(x)或f(x)＞g(x)?|f(x)|＜g(x)-g(x)＜f(x)＜g(x)?①②①零点分段法②函数图象法③绝对值几何意义法①若对,有恒成立②若,使得成立已知定义在D1上的函数f1(x)的值域为I1定义在D2上的函数f2(x)的值域为I2则等价于：则等价于：③若对,使得成立④若对,使得成立则等价于：则等价于：含参等式(含参函数与值域)(任意对任意，值域相等)(任意对存在，任意是子集)(存在对存在，交集非空)(任意对存在，任意是子集)含参等式注①：除了上述的“含参函数与值域”常规解法个别题，可能形法更简捷注②：此类题，还可以将：变式为,等形式……注③：此类题，还要注意关键词的变化：引起的值域的“缩小”，即只取“单值区间”……存在唯一的x1∈I……注④：此类题，还要注意问题的变化：一般的，采取：数形结合，设f(a)=g(b)=t∈I……求a－b的取值范围……则a－b=h(t)(t∈I……)即求函数h(t)的“人为”值域……形法数法(1)通法特法(2)最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法含参不等式常成立注1.描述方式繁多引申变式多样含参不等式恒成立含参不等式恰成立含参不等式能成立注3.解法灵活多样技巧性极强注2.常成立是基础恒成立是重点分类讨论含参不等式——四成立1.含参不等式常成立——分类讨论：(1)实质：——具体问题具体分析化复杂为简单，化陌生为熟练，化大为小；是根据研究对象的共同性和差异性将其分为不同种类的思想方法(2)作用：①分类标准要统一(3)原则：②分类讨论时，要不重不漏③分类讨论要逐级进行，建议尽量书写序号⑤能避免分类标准，要尽量避免之④先分后合，能合必合2.含参不等式恰成立:1.含参不等式常成立——分类讨论：小作：一般的，不等式解集的端点值是方程的根大作：回归到含参不等式常成立最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法通法特法3.含参不等式恒成立：形法数法(2)(1)4.含参不等式能成立——回归到恒成立用最值法，求与含参不等式恒成立“相反”的最值即可含参不等式常见的解法最值法子集法变换主元法分离参量法先猜后证法通法特法形法数法(2)(1)双参型含参不等式的常用解法依次将双参中的x1、x2看成是x双参型就回归到单参型了……一、表述方式的多样性——重要性：二、证明方法的多样性——重要性：三、用途的广泛性——重要性：四、用法的灵活性：§290柯西不等式简介一、表述方式的多样性1.高中阶段：①代数式：2.大学阶段：④积分式⑥……⑤期望式③三角式：②向量式：参课本P：32……参课本P：34……参课本P：33……——重要性：一、表述方式的多样性——重要性：1.高中阶段：①代数式(一般式……)方和积≥积和方(①2＋②2＋③2)≥(①＋②＋③)2高考主要考察的是：二维或三维形式的Cauchy不等式(①2＋②2)≥(①＋②)2①代数式(一般式……)③三角式：②向量式：方和积≥积和方(①2＋②2＋③2)≥(①＋②＋③)2(①2＋②2)≥(①＋②)21.高中阶段：①代数式：2.大学阶段：④积分式⑥……⑤期望式③三角式：②向量式：参课本P：32……参课本P：34……参课本P：33……一、表述方式的多样性当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi时等号成立
设
=
求证:
(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
当且仅当bi＝0或存在一个数k，使ai＝kbi时等号成立
已知≤≤≤…≤,≤≤≤…≤
若…,是…,的任意一个排列,
则称为乱序和
称为反序和
称为顺序和
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