规范场论及微分几何

一. 叙论

场论及微分几何分别是物理和数学中的两门重要的学科。场论肇始于麦克斯韦的电磁学(我们姑且不论牛顿的重力理论), 如今已是解释基本粒子的最有力的工具。这两门学科在历史上虽然是各自发展, 但是现在大家已了解, 事实上它们却是同一件事情的一体两面。然而这种认知过程却是相当曲折,前后历经了将近百年的时间, 并且经过历史上最聪明的头脑的努力才达成的。在本文中我们来看一下这段发展的过程, 并且来了解它们的内涵及密切关系。

二. 高斯、黎曼及嘉当的微分几何

微分几何在欧拉(Euler) 及蒙日(Monge) 的手上固然已经有了很多的发展,但是真正决定性的结果则无疑的是在高斯(Gauss) 1827年的那篇“曲面概论”论文上建立的。高斯引进了一种全新的概念, 那就是把曲面本身视为一个空间, 而不仅是三度空间中的附属品, 他赋予曲面自己的坐标x1,x2, 并引进第一基本量:

ds² = E(x₁, x₂)dx₁²+ 2F(x₁, x₂)dx₁dx₂+G(x₁, x₂)dx₂²  (1)

来描述曲面上的弧长元素, 从而曲面上的距离和角度都可由E、F和G三个函数来决定, 他把这些仅与E、F 和G 有关的几何性质称之为曲面的内在性质。

高斯下一个重要的贡献则是关于曲面曲率的研究。高斯先是经由曲面的法线在三度空间的变动来定义曲率K, 然而出乎他意外的是, 他发现曲率仅用E、F 和G 三个量就可以完全的表示出来, 因此曲率是一种曲面的内在性质, 而与它所存在的三度空间无关。这个结果, 充分的显示了曲率在几何学里的中心地位, 高斯很得意地称之为“theorema egregium”—最漂亮的定理。高斯还证明了一个关于曲率和测地线所围成的三角形的有名定理。他证明了曲面上一个由测地线所围成的三角形的内角和, 并不像在平面上一样等于π, 而是由下面的公式来表述:

∬_AKdA =α₁+α₂+α₃− π   (2)

而当曲率的积分范围扩充到整个曲面时, 右边的积分值又等于曲面的拓扑量— 欧拉示性数(Euler Characteristic)。这个漂亮的定理现在一般称之为高斯-伯涅特(Gauss-Bonner) 定理, 它是第一个将曲面上的局部量(曲率) 与大域量(示性数) 连系在一起的定理, 而它更进一步的推广, 则更是几何学发展的关键。

同时, 高斯也是非欧几何学的创始人之一。非欧几何学的建立, 是希腊时代以来在空间观念上最重大及革命性的一步, 而高斯除了认清非欧几何在逻辑上的合理性外, 他还实地测量三座山峰所形成的三角形的内角和, 来判定我们的空间是否真属于非欧的空间。虽然由于那个三角形实在是太小了, 因而没有得到有意义的结果, 然而高斯的确是历史上认知到几何学即是真实物理学的第一个人。

众所周知的, 高斯也在物理领域电磁学上做过巨大的贡献, 但是超凡如高斯者, 可能也想象不到, 这其实也是一种几何学, 而且是比他的曲面论更简单的几何学。

高斯的工作很快的就被他的伟大的继承者黎曼(Riemann) 所推广, 他在1854年面对哥庭根大学教授团(高斯也在座) 作了一次资格审核演讲, 演讲的题目名为“几何学基础所依据的假设”。黎曼在这篇划时代的论文中将高斯的曲面论推广到n 维流形上。他将n 维流形的每个点赋予n 个坐标(x1, x2, · · · , xn) 而两个极靠近点间的距离平方设定为:

ds²=∑ⁿ_i,j=1g_ij(x)dx_idx_j   (3)

流形上所有的几何量都可以由gij 的组合来表示。黎曼最大的成就是将高斯曲率由二维推广到n维的流形上, 一般称之为黎曼曲率张量, 形状相当复杂。为了要写出它的样子, 我们必须透过所谓克利斯多夫符号Γ(Christoffel symbol):

而黎曼曲率张量则为:

R^l_ijk= ∂_kΓ^l_ij−∂_jΓ^l_ik+ Γ^l_nkΓⁿ_ij− Γ^l_njΓⁿ_ik  (5)

这个式子表示了与黎曼曲率张量有直接关系的并不是gij , 而是克利斯多夫符号Γ^l_ki。克利斯多夫符号还有另一重要的用途: 如果我们把黎曼流形上的一个向量函数vi 对于坐标xj 求导数, 所得的∂v_i/∂x_j并不是性质很好的量,必须要作下列的组合:

Djvi = ∂jvi −Γ^lijvl   (6)

才是有用的量, 这个导数叫做协变导数(Covariant derivative)。经由协变导数, 黎曼曲率张量还符合所谓毕安其恒等式(Bianchi identity):

DmR^lijk + DjR^likm + DkR^limj = 0   (7)

这些都是曲率张量的重要性质。黎曼除了发明弯曲空间的概念, 并解释如何计算曲率外,他其实也认真的考虑过整个的宇宙模型或许不是普通的欧几理得空间,而是属于一种「常数正曲率」的球形空间。不过他这个观念实在超越他的时代太远了, 而且必需用到的场论观念也还未成熟, 因此还得再等半个世纪另一个天才诞生之后才能完成这项工作。

微分几何下一个飞跃是由嘉当(E. Cartan) 带领的, 他引进了所谓活动标架(moving frame) 及外微分形式(exterior differential form) 的技巧使黎曼几何中繁复的计算简化不少。不过更重要的是他拓展了微分几何的范畴, 他在活动标架之间介绍进所谓嘉当联络(Carton Connection), 这是一个类似克利斯多夫符号的几何量, 但是它不一定要与长度度量有任何关系。因此嘉当的几何空间不必要有长度及角度的观念, 但是仍然可以有曲率及平行位移等观念。因此嘉当推广了空间的观念, 而黎曼空间是它的一个特例。这样的观点最后由爱礼曼在1950年推广到纤维丛(fiber bundle) 的联络论上。

纤维丛的理论我们可以简述如下: 所谓黎曼几何可以看成是在底空间的每一点上黏上一个切空间(tangent space), 而不同点上的切空间之间则利用克利斯多夫符号所定义的协变导数来作联系。而纤维丛理论是在底空间的每一点上黏上别的我们有兴趣向量空间,而爱礼曼则能成功的定义“联络”, 将不同点上的向量空间联系起来, 从而讨论一种新的几何学。在这种架构底下, 黎曼几何可以叫做“切丛”(tangent bundle) 上的联络论, 而克利斯多夫符号就是切空间之间的联络。至此微分几何的最后面貌就告完成了。

三. 麦克斯韦、爱因斯坦及杨振宁的规范场论

场的观念最先是由法拉第提出用来描述电磁现象的, 不过法拉第的数学能力不够, 没能建立一个精确的定量理论。完成电与磁二者的最后统合是麦克斯韦, 他综合了前人观察的结果, 在1864年用下面四个简单(看起来) 的方程式:

divE^→= ρ(8)

curlB^→  − ∂E^→/∂t = j^→  (9)

curlE^→ + ∂B^→/∂t = 0  (10)

divB^→  = 0  (11)

就将所有的电磁现象一网打尽。这四个方程式中, 第一个方程式是库伦定律, 描述静电现象。第三个方程式是法拉第-亨利(Faraday-Henry) 定律, 描述磁场的变化可以产生电场。第四个方程式则是单纯的指出磁单荷的不存在。第二个方程式是毕奥-萨伐尔-安培定律, 用来描述电流可以产生磁场。而其中神来之笔的是∂E^→/∂t那一项; 这一项叫做位移电流, 最先并不是在实验中发现的, 而纯粹是麦克斯韦为了数学上的一致性加上去的。不过如此一来电磁的波动性质就出现了, 而麦克斯韦也预言了光就是一种电磁波。不仅是在解释物理现象上, 麦克斯韦方程式有惊人的威力, 它们在数学结构上更有很神妙的性质。首先爱因斯坦及闵可夫斯基(Minkowski) 发现经由下面的对应:

电磁场E^→和B^→可以看成为四维时空(x0, x1, x2, x3) 中的四维张量Fμ,v而麦克斯韦方程式则可以写为更简洁的形式:

∑³_μ=0∂μF^μν= j^ν  (13)

∂_μF_νλ+ ∂_νF_λμ + ∂λF_μν= 0  (14)

其中j^ν= (j^→, ρ) 是电流密度及电荷密度。第(14) 式是电磁学中的毕安其恒等式, 不过样子比黎曼几何中的简单多了。由毕安其恒等式我们看出F_μν可以表为:

F_μν = ∂μAν− ∂νAμ  (15)

的样子, 其中Aμ 叫做电磁位势。比较一下黎曼几何中的量, Aμ 就好像克利斯多夫符号,而电磁场Fμ_ν就好像黎曼曲率张量, 不过关系当然简单很多。(15) 中隐藏了一个极重要的性质, 那就是如果我们将Aμ 作如下的转换:

Aμ(x) →Aμ(x) + ∂μφ(x)  (16)

很容易看得出来Fμ_ν不变。由于电磁场Fμ_ν才是可量测的物理量, 因此转换(16) 是电磁场的对称性, 叫做规范转换。如果我们在引入另一物理场φ, 并考虑下面的转换:

 ψ(x) →e^iφ(x) ψ(x)  (17)

则很容易证明组合∂μψ  − iAμψ  在(16) 及 (17) 转换之下也做如(17) 式的转换:

∂μψ− iAμψ→e^iφ(x)( ∂μψ− iAμψ)  (18)

组合∂μψ− iAμψ也是一种协变导数, 它提供了物理场^φ及电磁位势A 作用的方式。转换(17) 非常简单, 它纯粹只是乘上一个绝对值等于1 的函数而已, 因此称为U(1) 转换。所以会考虑U(1) 转换的动机是:φ场的绝对值|φ| 才是可测的物理量, 因此(17)式是φ场的一个对称性。最先认识到规范转换(16) 及U(1) 转换(17) 重要性的是韦尔(Weyl, 1918), 但是它们却有非常不寻常的推广, 可以把所有的关节联系在一起。

不过在进一步讨论这个推广以前, 我们必须要来看一下另一个重要的发现, 那就是爱因斯坦在1915年所建立的重力场论或叫做广义相对论。由于爱因斯坦过人的洞察力, 他发现在一辆加速进行的火车中, 一个人会感受到像重力一样的吸引力。因此他提出了所谓“等效原则”, 认为重力应该是一种时空现象, 可以用几何的方法来处理, 重力是时空弯曲之后的一种物理表现。在这种认知之后, 他马上就体会到他所需要的数学工具早就由黎曼替他准备好了, 而他也将高斯及黎曼在六、七十年前的臆测给具体化了。1917年爱丁顿爵士利用了一次日蚀的机会, 观察到广义相对论所预言的光线弯曲, 一时轰动了整个世界。从此重力场是几何的说法也就为世人所接受, 我们生存的空间一种黎曼空间, 其弯曲情况则由物质分布来决定。爱因斯坦可以说是历史上第一个确实的认识到物理学就是几何学的人, 因此他下一个雄心壮志就是想将电磁学也能几何化, 以完成统一场论的鸿图大业。不过很不幸的这却是穷他后半生精力所未能完成的事。

正确的发展是建立在杨振宁和密尔斯(Mills)1954年所发表的论文上。他们的出发点是如下的考虑: 质子和中子除了在电荷有无及寿命长短不同外, 它们其他的性质几乎完全一样。因此海森堡(Heisenberg) 认为这两种粒子可以看成是同一种粒子的两种表态, 而引进了一个二维的同位旋空间, 把质子场及中子场看成是这个空间的两个分量(ψ_n,ψ_p), 而任何适当的物理理论在质子及中子的角色调换之下应该不变。但是场是时空的函数, 因此场论是一种局部性的理论, 所以杨振宁及密尔斯便认为, 如果这个对称成立的话, 不同地方的人对于中子及质子的认定未必须要一样。因此杨振宁及密尔斯认为真正的同位旋对称应该是:

这个式子与电磁学中的转换(17) 非常相似,但是却有一个极大的不同, 那就是现在ω(x)是一个二阶矩阵函数, 而不是单纯的函数了。与电磁学时的情况一样, 我们需要协变导数来建立适当的物理量, 因此也就需要引进类似电磁位势的杨-密尔斯位势Aμ, 只不过现在它也必须是一个矩阵, 而它的规范转换则需如下规定:

Aμ(x) →e^iω(x)Aμ(x)e^−iω(x)+(∂μe^iω(x))e^−iω(x)  (20)

如此与(19) 配合之后才能使协变导数∂μψ− iAμ具有良好的转换性质。下一步所需完成的工作就是找出在规范转换(20) 下变换性质良好的杨-密尔斯场, 他们的结果是:

Fμν= ∂rAν− ∂νAμ − [Aμ,Aν]  (21)

这个结果最值得注意的是, 与电磁场比较起来它多出了一项不寻常的[Aμ,Aν] 项。[A,B] 的意思是AB − BA , 它的来源是来自于二阶矩阵乘法的非交换性; 用更精确的话来说, 杨振宁及密尔斯将规范转换由可交换的U(1) 群推广到不可交换的SU(2)群。但是如果我们将杨-密尔斯场(21) 与黎曼曲率张量(5) 比较的话, 则又会发现它们之间惊人的相似了。然则杨-密尔斯理论也是一种几何学吗?

不像广义相对论就是黎曼几何那样明显, 杨振宁足足花了将近二十年的时间, 在与几何学家西蒙斯长期讨论之下才找到了答案。现在一切都很清楚了, 由于每个时空点上的同位旋空间不必看成是一样, 所以每个时空点都可以有其各自的同位旋空间, 物理空间事实上是一个向量丛, 而规范位势Aμ 则是其上的联络。另一方面, 上世纪七O 年代的物理学家们也成功的利用规范场解释了电弱及强作用, 因此和重力理论一样, 所有的基本作用都是几何的。当杨振宁在1975年了解了规范场正是向量丛上的联络时, 他是深受感动的, 他也相信如果爱因斯坦知道此事也会感到高兴,因为爱因斯坦曾多次强调, 基本场就其本性而言必须是几何的。大概最令杨振宁意外的是, 纤维丛理论是他的世交挚友—中国当代几何学大师陈省身的毕生功业。他们二人交情非浅, 但却不知道对方早已在自己的领域上作过了决定性的贡献。因此后来杨振宁对陈省身说「这确实令人激动和费解,你们数学家凭空想象出了这些概念。」但陈省身当即反驳道「不, 不, 这些概念不是凭空想象出来的,而是自然的, 真实的。」这正是「众里寻它千百度, 蓦然回首, 那人却在灯火阑珊处」。最后我们以杨先生的一首诗作为本文的结束:

赞陈氏类

天衣岂无缝, 匠心剪接成

浑然归一体, 广连妙绝伦

造化爱几何, 四力纤维能

千古寸心事, 欧高黎嘉陈

来源：数哲三叔