基本图形分析法专题——平行线型相似三角形（一）

长期以来，几何是一门教师感到难教，学生感到难学的学科。学生在学习几何的过程中，最迫切地想要知道的就是几何问题思考方法、分析方法的规律性，最迫切地想要知道的就是几何问题中添加的每一条辅助线是怎样想出来的。由于传统的几何教学无法对学生的这些期待给出直接的、明确的、准确的、科学的回答，所以笼罩在学生几何学习过程中的畏惧心理难以得到根本上的消除，这也就是几何难教、难学之根本所在。

几何问题最大的困难就在于添辅助线，任何一种成功的几何分析方法都必须对添辅助线的问题作出正确的、科学的回答，都必须正确地揭示、并使学生能够掌握添辅助线的规律性。应用基本图形分析法将问题从原来着眼的“线”聚焦到“图形”上，就是因为找到的基本图形在原有的图形中不完整，从而无法应用基本图形的性质，所以在应用性质之前必须将不完整的基本图形补完整，也就是添辅助线实质上是将不完整的基本图形补完整的结果，因此，只要找到基本图形，辅助线也就必然正确地添出来了。所以学生学习了基本图形分析法，就能在很短的时间里进入“一看就明白，一想就出来”的境界，从而可以从根本上消除学生对几何学习的畏惧心理。

基本图形分析法就是：将一个几何问题的图形，分解、剖析成一个或若干个基本图形，当基本图形不完整时，通过添加辅助线将不完整的基本图形补完整，然后应用基本图形的性质，使问题得到解决的几何分析方法。

下面介绍基本图形分析法中关于平行线型相似三角形的内容：

（1）由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形

△ABC中，D是AB上的一点，E是AC上的一点，DE∥BC => △ADE∽△ABC，AD/AB=DE/BC=AE/AC

上述比例关系可以分别写成三个比例式，对这三个比例式进行描图，可以发现至少有一组相比线段是重迭在以直线上，所以相比两线段重迭在一直线上是平行线型相似三角形最重要的位置特征。

平行线型相似三角形应用的第一种情况是出现了三角形内一条边的平行线段，这时可直接应用平行线型相似三角形的基本图形的性质进行证明，如果这条平行线段还没有和三角形的边相交，那就延长到相交。

平行线型相似三角形应用的第二种情况是出现了相比两线段重迭在一直线上，这时就可添加平行线型相似三角形进行证明，添加的方法是过端点和内分点作平行线。

平行线型相似三角形应用的第三种情况是出现了两组相比两线段都重迭在一直线上，且两两连结四个端点的线段的延长线相交，这时就可添加平行线型相似三角形进行证明，添加的方法是将端点和端点、内分点和内分点分别连结，这两条连线一定平行，并组成平行线型相似三角形。

平行线型相似三角形应用的第四种情况是出现了相比两线段是平行线段，这时就可添加平行线型相似三角形进行证明，添加的方法是两条平行线段的四个端点两两连结，并延长到相交，组成平行线型相似三角形。

例1，已知：△ABC中，延长BA到D，延长BC到E，连结DE，BA/BD=AC/DE，AC、DE的延长线相交于F，求证：FC=FE

分析1：本题的条件中给出的BA/BD=AC/DE，是线段之间的比例关系，所以首先应进行描图，搞清楚比例线段的位置关系，

经过描图可以发现BA和BD这两条相比线段现在重迭在一直线上，所以可应用或添加平行线型相似三角形进行证明，

添加的方法是过端点和内分点作平行线，所以首先要选择过端点或内分点的线段为平行方向线段，现在重迭的相比线段的两个端点是B、D，内分点是A，图形中过B、D、A的线段分别是BC、AC、DE，所以选取平行方向线段就出现了三种可能性，

如取BC为平行方向线段，则平行线可过内分点A作，也可以过另一个端点D作，

若首先选取过内分点A作平行线，则过A作AG∥BC交DE于G，

就可得BA/BD=EG/ED，而已知BA/BD=AC/DE，从而可推得AC=GE，

而在作出AG∥BC后，又出现了CE是△FAG内一条边AG的平行线段，所以又可应用由三角形内一条边的平行线段得到的平行线型相似三角形的基本图形的性质进行证明，从而又可得FC/AC=FE/GE，所以FC=FE就可以证明。

分析2：若平行线选取过另一个端点D作，那就要作到与过内分点A的直线相交，这时就构成由三角形外一条边的平行线段得到的平行线型相似三角形，于是过D作DG∥CB交CA的延长线于G，就可得△ABC和△ADG相似，

也就可推得BA/BD=CA/CG，而已知BA/BD=AC/DE，从而可推得DE=GC，

而在作出DG∥CB后，又出现了CE是△FGD内一条边GD的平行线段，所以又可应用由三角形内一条边的平行线段得到的平行线型相似三角形的基本图形的性质进行证明，从而又可得FC/CG=FE/ED，所以FC=FE就可以证明。

分析3：如选取过内分点A的线段AC为平行方向线段，那么平行线就可以过端点D作，也就是过D作DG∥AC交BE的延长线于G，就可得△ABC和△DBG相似，

所以BA/BD=AC/DG，而已知BA/BD=AC/DE，从而可推得DE=DG，

而在作出DG∥CB后，又出现了DG是△FCE外一条边CF的平行线段，所以又可应用由三角形外一条边的平行线段得到的平行线型相似三角形的基本图形的性质进行证明，从而又可得△FCE和△DGE相似，

由于DE=DG，所以FC=FE就可以证明。

分析4：如选取过端点D的线段DE为平行方向线段，那么平行线就可以过内分点A作，也就是过A作AG∥DE交BC于G，就可得△ABG和△DBE是一对由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形，

所以，BA/BD=AG/DE，而已知BA/BD=AC/DE，从而可推得AC=AG，

而在作出AG∥DE后，又出现了AG是△FCE外一条边EF的平行线段，

所以又可应用由三角形外一条边的平行线段得到的平行线型相似三角形的基本图形的性质进行证明，从而又可得△FCE和△ACG相似，

由于AC=AG，所以FC=FE就可以证明。