【解析】由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体,如图所示.长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为4×3×2+3×1
×2+4×1×2=38,圆柱的底面圆直径为2,母线长为1,侧面积为2π×1=2π,圆柱的两个底面面积和为2×π×12=2π.
故该几何体的表面积为38+2π-2π=38.答案:382.(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面
积是()【解析】选B.由该四面体的三视图可知,该四面体的直观图如图所示:其中侧面PAC⊥底面ABC,且△PAC≌
△BAC,由三视图中所给数据可知PA=PC=AB=BC=,取AC的中点O,连接PO,BO,则在Rt△POB中,PO=B
O=1,可得PB=,所以S=3.某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是____________.【解析】由几何体
的三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示).在四边形ABCD中,作DE⊥AB,垂足为E,则DE=4,AE
=3,则AD=5.所以其表面积为2××(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92.答案:92考向二球与几何
体的切、接问题▲提能互动【典例】(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的
动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为()A.36π B.64π C.144π D.256π(2)
(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为() 世纪金榜导学号99972238
A.12π B.π C.8π D.4π【解题指南】(1)当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大
,利用VO-ABC=VC-AOB列出关于半径R的方程,求出球的半径,然后求出球的表面积.(2)利用正方体的体对角线就是球的直径求
解.【规范解答】(1)选C.如图所示,当点C位于垂直于面AOB的直径端点时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此
时VO-ABC=VC-AOB=×R2×R=R3=36,故R=6,则球O的表面积为S=4πR2=144π.(2)选A
.因为正方体的体积为8,所以正方体的棱长为2,其体对角线长为2,所以正方体的外接球的半径为,所以球的表面积为4π·
()2=12π.【母题变式】若本例题(1)条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”,若AB=3
,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,求球O的半径.【解析】因为直三棱柱中AB=3,AC=4,AA1=12,AB⊥AC,所以B
C=5,且BC为过底面ABC的截面圆的直径.取BC中点D,则OD⊥底面ABC,则O在侧面BCC1B1内,矩形BCC1B1的对角
线长即为球直径,所以2R==13,即R=.【技法点拨】解决球与其他几何体的切、接问题(1)关键在于仔
细观察、分析,弄清相关元素的位置关系和数量关系.(2)选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体
现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.提醒:(1)利用三棱锥的“等积性”,可以把任何一个面作为三棱锥的底面.(2)
求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算.【拓展提升——高考模拟预测】1.已知底面边长为,各侧面均为直角三角形的正三棱
锥P-ABC的四个顶点都在同一球面上,则此球的表面积为________.【解析】由题意可将三棱锥补为边长为1的正方体,易知此
正三棱锥的外接球即是正方体的外接球.正方体的体对角线是故外接球的直径是,半径是,故其表面积是
4×π×()2=3π.答案:3π2.(2017·九江模拟)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面垂直,且所有棱长都相
等,若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上,且球O的表面积为7π,则此三棱柱的体积为________.世纪金榜导学号99972239
【解析】如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,6个顶点都在球O的球面上,所以三棱柱为正三棱柱,且其中
心为球的球心,设为O,再设球的半径为r.由球O的表面积为7π,得4πr2=7π,所以r=.设三棱柱的底面边长为a,则
上底面所在圆的半径为a,且球心O到上底面中心H的距离OH=,所以r2=即r=a,所以
a=.所以三棱柱的底面积为S=所以答案:3.(2017·郑州模拟)如图直三棱柱ABC-A1B1
C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为______
__.世纪金榜导学号99972240【解析】由题意知,球心在侧面BCC1B1的中心O上,BC为截面圆的直径,所以∠BAC=9
0°,△ABC的外接圆圆心N是BC的中点,同理△A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x,在Rt△
OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1(R为球的半径),所以则AB=AC
=1,所以答案:【加固训练】1.(2015·西安模拟)如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D
1的内切球,则平面ACD1截球O的截面面积为()【解析】选C.平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆.因为正方体的
棱长为1,所以AC=CD1=AD1=,所以内切圆的半径r=所以S=πr2=π×2.已知某一多面
体内接于球构成一个简单组合体,如果该组合体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球
的表面积是________.第五节空间几何体的面积与体积【教材知识精梳理】1.圆柱、圆锥、圆台、球的侧面积与表面积
πr(l+r)____圆锥(底面半径r,侧面母线长l)_________2πrl圆柱(底面半径r,侧面母线长l)表面积
侧面积名称2πr(l+r)πrl_____球(半径为R)π(r1+r2)l+π(r12+r22)________
_圆台(上、下底面半径r1,r2,侧面母线长l)表面积侧面积名称π(r1+r2)l4πR22.直棱柱、正棱锥、正棱台
的侧面积________(c′,c分别为上、下底面周长,h′为斜高)____(c为底面周长,h′为斜高)___(c为
底面周长,h为高)侧面积正棱台正棱锥直棱柱名称ch3.空间几何体的体积(h为高,S为下底面积,S′为上底面积)
(1)V柱体=___.特别地,V圆柱=πr2h(r为底面半径).(2)V锥体=____.特别地,V圆锥=πr2h(r为底面
半径).(3)V台体=(S+S′+)h.特别地,ShV圆台=πh(r2+rr′+r′2)(r′,r分别为
上、下底面半径).(4)V球=_____(球半径是R).【教材拓展微思考】1.如何求多面体的表面积?提示:应根据展开图的
特征求出各个面的面积,然后再求和.2.如何求旋转体的表面积?提示:求旋转体的侧面积时需要将曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面
积与底面积之和.3.如何求不规则几何体的体积?提示:求不规则几何体的体积要注意分割与补形,将不规则的几何体通过分割或补形转化为
规则的几何体求解.【教材母题巧变式】P51·A组T10P57·T12P51·T6源自321题号1.如图,将一个
长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.【解析】设长方体的相邻三条
棱长分别为a,b,c,它截出棱锥的体积为V1=××a×b×c=abc,剩下的几何体的体积V2=abc-
abc=abc,所以V1∶V2=1∶47.答案:1∶472.一直角三角形的三边长分别为6cm,8cm,10cm,
绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________.【解析】旋转一周所得几何体为以cm为半径的两个同底面的圆锥,其表面积
为S=π××6+π××8=π(cm2).答案:πcm23.一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的
正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为________.【解析】设六棱锥的高为h,斜高为h′,则由体积V=
得:h=1,h′==2.所以侧面积为×2×h′×6=12.答案
:12考向一空间几何体的侧面积与表面积▲夯基练透【技法点拨】几何体表面积的求法(1)多面体:其表面积是各个
面的面积之和.(2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和.(3)简单组合体:应搞清各构成部分,并注意重合部分的处理.(
4)若以三视图形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根
据条件求解.提醒:求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积要减去.【基础保分题组】1.棱长为2的正四面体的表面积是(
)A. B.4 C.4 D.16【解析】选C.每个面的面积为所以正四面体的表面积为4
.2.一个几何体的三视图如图所示,那么此几何体的侧面积(单位:cm2)为()A.48cm2 B.64cm2
C.80cm2 D.120cm2【解析】选C.根据三视图知,该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8cm),直观图
如图,PE为侧面△PAB的边AB上的高,且PE=5cm.所以此几何体的侧面积是S=4S△PAB=4××8×5=80(cm2
).3.某品牌香水瓶的三视图如图(单位:cm),则该几何体的表面积为()【解析】选C.该几何体的上下为长方体,中间为圆柱
.S表面积=S下长方体+S上长方体+S圆柱侧-2S圆柱底=2×4×4+4×4×2+2×3×3+4×3×1+2π××1-2
×π()2=94+(cm2).【拓展提升——高考模拟预测】4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(
)【解析】选C.还原几何体如图所示,S△BCD=BC·DE=×2×2=2,S△ACD=S△ABD=S△ABC=所以表面积为2+2.5.(2016·全国卷Ⅰ)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是()世纪金榜导学号99972237A.17π B.18π C.20π D.28π【解析】选A.该几何体是一个球体挖掉剩下的部分,如图所示,依题意得解得R=2,所以该几何体的表面积为4π×22××22=17π.【加固训练】1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________. |
|
