 作者简介 徐方瞿，上海市杨浦区教育学院。从事平面几何教学工作、教学研究工作、教学科学研究工作和中学数学教师培训工作四十多年，是平面几何“基本图形分析法”的创始人。   平面几何，一门被许多科学家、数学家、教育家称之为“思维的体操”的学科，一门充满了教和学的魅力的学科，但却又是一门长期以来老师感到难教、学生感到难学的学科。 长期以来，数学教学界的许多专家、学者和教师，都在“要突破几何教学的难题，必须揭示几何问题分析、思维方法的规律性”这个问题上形成了共识，然而，更重要的问题是要通过怎样的途径、怎样的方法去发现、找到和认识这种规律性，并应用于几何教学？ 由于思维的基础是语言，而且思维过程又是要通过语言来展示的，所以对平面几何问题的思维和语言的研究，就是一项重要的基础性研究。 平面几何学科教学中所使用的语言，可以分为三类：即自然语言、图形语言和符号语言，而几何教学的难，首先就表现在教师、学生对这三种语言的认知所遇到的困难。 自然语言，就是教师或教材使用的、将需要表达的语言信息以文字（母语即汉语）表现出来的语言形式。 图形语言，就是教师或教材使用的、将需要表达的信息以图形表现出来的语言形式。由于平面几何是研究平面图形性质的学科，所以图形语言在平面几何教学中有着极其重要的、不可替代的作用。 符号语言，就是教师或教材使用的、将需要表达的信息以字母、符号、关系式表现出来的语言形式。  例如：有一个角是直角的三角形是直角三角形，就是用自然语言表述直角三角形； 画出一个三角形ABC，在∠ACB出标上一个直角符号，就是用图形语言表述直角三角形； △ABC中，∠ACB=90°，就是用符号语言表述直角三角形。 显然，当这三种语言对同一个研究对象、同一个问题进行表述时，如果其内涵是完全相同的、是同一的、是没有歧义的，那么学生的认识、理解和掌握当然就不会有很大的困难。 然而，大量出现的实际情况恰恰是，这三种语言在对同一个研究对象、同一个问题进行表述时，会出现、有时甚至是会出现相当大的差异。 就以相似三角形为例： 如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形，显然，这里使用的就是自然语言。  然而，应用图形语言表述就出现了问题，首先就是使用哪个图形？教材上一般都使用两个大小不同、形状相同的两个并列的三角形这样一个图形，但这个图形只是在讲相似三角形的概念和判定定理的时候才出现，在以后大量的相似三角形应用的习题中都不会出现，也就是说在今后绝大部分的学习时间里，学生基本上是再也不会遇到或使用这个图形。学生要学习和应用的是具体的、一个一个出现在不同位置上的相似三角形，这些相似三角形所使用的图形语言与上述图例中的相似三角形所使用的图形语言显然是不完全一样的。实际上教材、教师讲述的是相似三角形的全集，而学生接受和理解的却是相似三角形的真子集。 接下去就会发现，仅有自然语言和图形语言的表述，还是不够的，所以还需要符号语言。即：∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB:DE=BC:EF=AC:DF，△ABC∽△DEF。与自然语言相比较，可以发现符号语言对于对应关系的表述有更准确的要求，而图形语言又无法对比例关系进行准确的表述，尤其是在图形的位置出现变化以后，有的学生对于找到正确的比例关系都会发生困难。 又如许多老师在教学中经常还是采用一种传统的方法进行教学或讲授：要证明两条线段相等，可以应用全等三角形，可以应用等腰三角形，可以应用平行四边形，可以应用正方形，可以证明两条线段都和第三条线段相等，可以应用相似三角形等等，在这样一段自然语言的讲述中，我们可以发现没有出现任何图形，图形语言就是一片空白，符号语言也是一片空白。 显然，在几何教学中，自然语言、图形语言和符号语言所存在的这种差异，无论是对老师的教，还是对学生的学，都是一种挑战。而正确地认识自然语言、图形语言和符号语言在几何教学中的地位和价值，根据自然语言、图形语言和符号语言的不同特点，实施不同的教学要求和教学方法，充分发挥自然语言、图形语言和符号语言各自的优势，并聚焦到几何学习质量和考试成绩的提高上，就是几何教学研究的一个重要课题。 几何问题都有一个图形，当给出的图形比较简单时，通过图形语言所表述的信息一般也比较清晰准确，学生学习、理解、掌握也不会有很大的困难，然而当给出的图形比较复杂时，通过图形语言所表述的信息就会模糊，认识不清楚。这时，人们最常用的方法，就是将图形进行分解、剖析，不管通过哪条路径，这个过程的最终结果都是得到一定数量的基本图形， 这个经过分解、剖析并得到基本图形的过程也就是应用图形语言的过程。实际上，这项工作是许多老师、尤其是老教师都做过的一项工作。 在得到了具有一定数量的基本图形以后，所面临的问题就是要对这些基本图形进行分类和命名，实际上任何一个在科学层面上的学科领域，都无一不是建立在科学分类的基础上的，许多数学教师撰写的关于平面几何教学的论文，也都是从对分类的研究开始切入主题的。 仍然以相似三角形为例，我们看到许多老师首先都会关注到这样一些类型的相似三角形，很显然，最初都是通过图形语言来表述的。  然而接下来的问题就是怎样称呼它们，这就出现了命名的问题，不命名就不好讲，有的老师没办法就讲“这就是第一类相似三角形”，“这就是第二类相似三角形”，实际上这也是一种自己约定的命名，显然这时使用的是自然语言。 当然，也有许多老师感到这样的命名并不妥切，内涵也很模糊，所以想出并采用了诸如“A字型”、“8字型”、“子母型”、“斜A型”、“X型”、“切割线型”、“蝶型”等等这样一些目前非常常见的命名形式，可以发现，其中的多数使用的是符号语言。 由于这是一种建立在象形基础上的命名，这种命名也就是属于经验层面，它的优点是简捷，所以许多老师都喜欢用，但是在教学的科学性和学生掌握、理解的层面上就会出现问题。首先遇到的一个问题就是老师只能在具体问题中出现时，才能讲“这里出现的是A字型（相似三角形）”，“这就是A字型（相似三角形）”，这也是目前许多老师使用频率最高的讲法，但明显的缺陷就是无法讲清楚“什么是A字型（相似三角形）”，也无法讲清楚在什么情况下就要想到应用A字型（相似三角形）。实际上还有一个更为重要的问题，就是图形中没有出现完整的A字型（相似三角形），而接下来的分析和证明又恰恰是要应用到A字型相似三角形的时候，老师就没有办法科学性地表述怎么会想到要应用或添加A字型（相似三角形）了。 在用符号语言来表述相似三角形的分类时，还遇到一个问题，就是有一类重要的相似三角形，也就是旋转型相似三角形，没有办法用象形的符号语言来命名。  当然深入一步的讨论的话，还包括位似型相似三角形，也存在着同样的问题。也就是说在科学性的层面上，用象形的符号语言所进行的分类是不完整的，它们的并集并不是全集。而在教学中出现的问题，就是学生遇到了“A字型”、“8字型”这些分类之外的相似三角形时，就会一片茫然。 由此我们就可以发现，问题的源头就是首先要对相似三角形进行科学的分类，当我们采用归纳发现方法对一个又一个具体的相似三角形问题进行剖析、讨论的话，就可以得到最后的结果：相似三角形可以分成四类，就是平行线型、逆平行线型、旋转型和位似型。 我们就以平行线型相似三角形为例展开讨论：△ABC中，DE∥BC→△ADE∽△ABC，这一对相似三角形是由三角形的一条边的平行线和三角形的另外两边或它们的延长线相交得到的，所以就叫做平行线型相似三角形。  从图形中我们可发现，平行线型相似三角形还可以出现两种情况：一是由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形；二是由三角形外一条边的平行线得到的平行线型相似三角形。这是用自然语言表述的结果，在科学性上是准确的，是无懈可击的，但是说起来就显得比较繁琐、拗口，老师要在经常性的教学中反复使用总会感到有不方便之处，所以就会想到要采用符号语言，即将由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形称为“A字型”，将由三角形外一条边的平行线得到的平行线型相似三角形称为“8字型”，显然这时的“A字型”和“8字型”就具有了准确的内涵，显然“X型”、“斜A型”等在表述相似三角形的内涵时，存在着不确定的方面，所以就不宜采用。 在归纳发现基本图形的过程中，我们不难发现，研究、探索、发现并找到一定数量的基本图形并对它们进行命名并不是很困难的，对于教学来说，甚至还不是很重要的，更为重要的问题是，每一个基本图形在需要解决的各个具体问题中应怎么用？这时需要解决的就是每一个基本图形应在什么条件或什么情况下用，具体应用的方法是什么的问题，前一个问题是每一个基本图形的应用条件问题，后一个问题则是每一个基本图形的应用方法问题。 例如，由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形，也就是“A字型”的应用条件是什么呢？ 在几何问题中，出现了⑴三角形内一条边的平行线段；⑵相比两线段重叠在一直线上；⑶两组相比线段都重叠在一直线上，且有一个公共端点；⑷相比两线段是两条平行线段时，就可以应用或添加由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形，也就是“A字型”进行证明。显然，上述这个问题的解决，只能是通过自然语言的应用来实现。 接下来的问题就是要解决具体应用的方法是什么？包括添加辅助线的方法是什么？ ⑴ 当出现了三角形内一条边的平行线段时，这时如果基本图形是完整的，就可以直接应用由三角形内一条边的平行线得到的平行线型相似三角形进行证明；如果基本图形是不完整的，也就是这条平行线还没有和三角形的另一条边相交使，就要延长到相交。这是用自然语言表述的方法，但不少人会看了以后也似乎还不明白，所以就可以配上相应的图形，看到图形语言就会一目了然。 ⑵ 相比两线段重叠在一直线上，应用或添加的方法就是过端点和内分点作平行线。 ⑶ 两组相比线段都重叠在一直线上，且有一个公共端点，应用或添加的方法就是将端点和端点、内分点和内分点分别联结起来，且这两条联线一定是平行线。 ⑷ 相比两线段是两条平行线段，应用或添加的方法就是将端点和内分点的联线延长到相交。 由于平行线型相似三角形这一基本图形的一个重要特征就是相比两线段重叠在一直线上，那么怎样发现相比两线段重叠在一直线上呢？这就要通过描图，只要对比例线段进行描图，发现相比两线段重叠在一直线上，就可以应用或添加平行线型相似三角形进行证明，所以将重叠的相比线段描述在图形上，实际上也就成为图形语言的重要组成部分。 于是，我们可以发现，应用方法需要通过自然语言来进行表述，但常常是不够的，需要配置相应的图形，应用图形语言来更清楚、更准确地表述相应的方法。 在几何问题的分析过程中，图形语言不断地在发出重要的语言信息： 1、当基本图形完整的时候，图形语言可以将基本图形的性质完整地展示出来，它在传递的信息是：“我是谁，我有哪些性质。”  2、当基本图形不完整的时候，图形语言可以指导读者将基本图形补完整，它在传递的信息是：“请将我补完整。”  3、当图形比较复杂，需要将多个基本图形依次补完整时，图形语言可以通过一个接着一个地将基本图形逐步补完整的过程，将一条由一条的辅助线的添加过程展示出来，它在传递的信息是：“请看清楚我从残缺演变到完整的全过程”，这时，图形语言的优势就可以发挥、显示得淋漓至尽。  在完成了对问题的分析和思考以后，就要将解题过程、证明过程表述出来，这时应用的就是符号语言。 在教学中，自然语言主要用于准确地阐述有关的概念、定理、图形性质和问题的分析思维过程；图形语言主要用于展示思维过程，但其中的关键思维节点或者仅用图形语言难以表述清楚的内容，还是主要自然语言来进行阐述；符号语言主要用于计算、推理、证明过程的准确、精炼的表述。从学生完成作业或在参加考试时，自然语言的价值在于“读懂题目”，图形语言的价值在于“看懂图形”，符号语言的价值在于“正确表述”。 在几何教学中，自然语言、图形语言、符号语言具有不同的功能，承担着不同的教学目标和任务，但对于教好、学好平面几何来讲，却都是重要的，不可缺少的，只要我们在几何教学的全过程中，重视自然语言、图形语言、符号语言的培养、应用和落实，就一定能够在较短的时间内取得显著的效果，既能有效地克服对几何教和学的畏难情绪，也能有效地提高学习成绩，也就一定能够取得几何教学质量在具有科学性基础上的大面积提高。 |
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