板块四模拟演练·提能增分板块三启智培优·破译高考板块一板块三板块二高考一轮总复习·数学[文]（经典版）板块四第8章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理·自主学习板块二典例探究·考向突破板块一板块三板块二高考一轮总复习·数学[文]（经典版）板块四
[必备知识]
考点2圆与圆的位置关系(O1、O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)
[必会结论]
1．关注一个直角三角形
当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形．
2．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．
3．两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由－所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
4．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
5．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数
(1)两圆外离时，有4条公切线；
(2)两圆外切时，有3条公切线；
(3)两圆相交时，有2条公切线；
(4)两圆内切时，有1条公切线；
(5)两圆内含时，没有公切线．
[考点自测]
1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()
(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.()
(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()
×
√
×
(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()
(5)“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充分不必要条件．()
×
√
2．[课本改编]直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是()
A．相离B．相切
C．相交且过圆心D．相交但不过圆心
解析圆的方程化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为＝<2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．故选D.
3．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为()
A．3B．2C.D．1
解析圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝＝1，因为2＝22－12＝3，所以|AB|＝2.
4．[课本改编]圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为()
A．x＋y－2＝0B．x＋y－4＝0
C．x－y＋4＝0D．x－y＋2＝0
解析圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，＝2，解得k＝.切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
5．[2018·重庆模拟]圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()
A．相离B．相交C．外切D．内切
解析圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1，圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r2＝2，故两圆的圆心距d＝，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，则有r2－r1
6．[2018·温州十校联考]对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是()
A．相离B．相切
C．相交D．以上三个选项均有可能
解析直线y＝kx－1恒经过点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径为，而|AC|＝<，点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．故选C.
考向直线与圆的位置关系
例1[2018·豫南九校联考]直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()
A．相交B．相切C．相离D．不确定
解析解法一：由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
则Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20>0，
所以直线l与圆C相交．故选A.
解法二：因为圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．选A.
解法三：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．故选A.
触类旁通
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法
(1)代数法：
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr相离．
【变式训练1】[2018·深圳模拟]已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()
A．相切B．相交C．相离D．不确定
解析因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1.故选B.
考向直线与圆的综合问题
命题角度1圆的切线问题
例2已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
解由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
所以点P在圆C上．
又kPC＝＝－1，
所以切线的斜率k＝－＝1.
所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.
(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝.
所以切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
因为|MC|＝＝，所以过点M的圆C的切线长为＝＝1.
触类旁通
圆的切线有关的结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(4)过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点P(x0，y0)引圆的切线，切点为T，则切线长为|PT|＝.
(5)过圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一点P(x0，y0)作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(6)若圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则过圆外一点P(x0，y0)的切线长
d＝.
【变式训练2】[2015·广东高考]平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
解析设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋m＝0(m≠1)，因为直线2x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝5相切，即点(0,0)到直线2x＋y＋m＝0的距离为，所以＝，|m|＝5.故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
命题角度2圆的弦长问题
例3过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为()
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
解析圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由|AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3.
当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时，符合题意．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
则有＝3，k＝－.
此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
命题角度3圆中的最值问题
斜率型最值例4已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．
－
解析原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值(如图)，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.
截距型最值
例5[2018·郑州模拟]已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是()
A．(－2，4)B．[－2，4]
C．[－4,4]D．[－4,2]
解析由于y≥0，所以x2＋y2＝4(y≥0)为上半圆.x＋y－m＝0是直线(如图)，且斜率为－，在y轴上截距为m，又当直线过点(－2,0)时，m＝－2，
所以即解得m[－2，4]，选B.
触类旁通
直线与圆综合问题的解题策略
(1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2＝r2－d2.
(2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．
(3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．
【变式训练3】[2015·江苏高考]在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．
(x－1)2＋y2＝2
解析解法一：设A(1,0)，由mx－y－2m－1＝0，得m(x－2)－(y＋1)＝0，则直线过定点P(2，－1)，即该方程表示所有过定点P的直线系方程．
当直线与AP垂直时，所求圆的半径最大．
此时，半径为|AP|＝＝.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.
解法二：设圆的半径为r，根据直线与圆相切的关系得r＝＝＝，
当m<0时，1＋<1，故1＋无最大值；
当m＝0时，r＝1；
当m>0时，m2＋1≥2m(当且仅当m＝1时取等号)．
所以r≤＝，即rmax＝，
故半径最大的圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
考向两圆的位置关系
例6(1)[2016·山东高考]已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()
A．内切B．相交C．外切D．相离
解析由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径R＝a，因为圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，所以圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝(a>0)，解得a＝2，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r＝1，所以|MN|＝，则R－r<
(2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝________.
1
解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4y＝，又a>0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知＝＝1a＝1.
触类旁通
如何处理两圆的位置关系
判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2、y2项得到．
【变式训练4】已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝()
A．－5B．－5或2C．－6D．8
解析对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆C1的圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即＝5，则m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．
核心规律
切线、弦长的求解方法
(1)求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可．
(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
满分策略
1.过圆外一定点作圆的切线，有两条，若在某种条件下只求出一个结果，则要想到还有斜率不存在的情况．
2.在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程.
数学思想系列8——数形结合思想在圆中的妙用
[2018·江西模拟]过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()
A.B．－C．±D．－
解题视点如果等式、代数式的结构中蕴含着明显的几何特征，就要考虑数形结合法求解，解答本题时首先要看到曲线y＝表示的是以原点为圆心，1为半径的半个圆，作出图形，结合三角形面积公式，确定面积最大时直线l的斜率．
解析由y＝得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．
故SAOB＝|OA|·|OB|·sinAOB＝sinAOB.所以当sinAOB＝1，即OAOB时，SAOB取得最大值，此时点O到直线l的距离d＝|OA|·sin45°＝.设此时直线l的斜率为k，则方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，则有＝，解得k＝±，由图可知直线l的倾斜角为钝角，故取k＝－.
答题启示“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论.
跟踪训练
[2018·湖北模拟]若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是()
A．[1－2，1＋2]B．[1－，3]
C．[－1,1＋2]D．[1－2，3]
解析y＝3－，1≤y≤3，
(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3)，
即曲线y＝3－表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆．直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，表示两曲线至少有一个公共点．符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间．
当直线y＝x＋b过点(0,3)时，b＝3；当直线y＝x＋b与圆y＝3－相切时，由点到直线的距离公式，得2＝，|b－1|＝2.结合图形知b＝1－2.
∴1－2≤b≤3，故选D.
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