高考一轮总复习·数学[文]（经典版）板块四模拟演练·提能增分高考一轮总复习·数学[文]（经典版）
[A级基础达标]
1．[2018·福建漳州八校联考]已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么()
A．ml，且l与圆相交B．ml，且l与圆相切
C．ml，且l与圆相离D．ml，且l与圆相离
解析点P(a，b)(ab≠0)在圆内，a2＋b2＝r，m∥l，l与圆相离．故选C.
2．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于()
A．－B．1C．2D.
解析圆心为C(1,0)，由于P(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，P为切点，CP与过点P的切线垂直．kCP＝＝2.又过点P的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，a＝kCP＝2，选C.
3．[2018·湖北武汉调研]圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为()
A．1B．2C．4D．8
解析圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直线的方程为x－y＋2＝0，它与两坐标轴分别交于(－2,0)，(0,2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为×2×2＝2.故选B.
4．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()
A．－2B．－4C．－6D．－8
解析由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.由r2＝d2＋2，得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
5．[2018·安徽模拟]若过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()
A.B.C.D.
解析设直线l的方程为y＋1＝k(x＋)，
即kx－y＋k－1＝0.
由d＝≤1,得0≤k≤，所以直线l的倾斜角的取值范围是.
6．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切线有()
A．1条B．2条C．3条D．4条
解析圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2；圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心C2(2,1)，半径r2＝1.
两圆心的距离d＝＝，r1＋r2＝3，d>r1＋r2，两圆外离，两圆有4条公切线．
7．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2＋y2－6x＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()
A.B．2C．3D.
解析如图，在RtPAB中，要使切线PB最小，只需圆心与直线y＝x＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP|min＝＝2，故|BP|min＝＝.
8．[2018·太原质检]过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于B(2,1)，则圆C的方程为_________________．
(x－3)2＋y2＝2
解析设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意知：点(a，b)既在直线y－1＝－(x－2)上，又在AB的垂直平分线上，由得圆心坐标为(3,0)，r＝|AC|＝＝，所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
9．[2016·全国卷]设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
4π
解析圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以2＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.
10．[2018·沈阳质检]过点M(1,2)的直线l与圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是_________________．
x＋y－3＝0
解析依题意得知，当ACB最小时，圆心C到直线l的距离达到最大，此时直线l与直线CM垂直，又直线CM的斜率为1，因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
[B级知能提升]
1．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)，(t>0)，若圆C上存在点P，使得APB＝90°，则t的取值范围是()
A．(0,2]B．[1,2]C．[2,3]D．[1,3]
解析由题意可知，若使圆C上存在点P，使得APB＝90°，即圆C与以原点O为圆心，半径为t的圆有交点，即|OC|－1≤t≤|OC|＋1，即1≤t≤3，t的取值范围为[1,3]，故选D.
2．[2017·河南洛阳二模]已知圆C的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x＋y＝2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于点A，则|PA|的最小值为()
A.B．1C.－1D．2－
解析解法一：由题意可知，直线PA与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA与y轴平行或重合，设P(cosα，sinα)，则A(cosα，2－cosα)，|PA|＝|2－cosα－sinα|＝，|PA|的最小值为2－.故选D.
解法二：由题意可知圆心(0,0)到直线x＋y＝2的距离d＝＝，圆C上一点到直线x＋y＝2的距离的最小值为－1.由题意可得|PA|min＝(－1)＝2－.故选D.
3．[2017·江苏高考]在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是_________________．
[－5，1]
解析解法一：因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，
所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5)．
因为A(－12,0)，B(0,6)，所以＝(－12－x，－)或＝(－12－x，)，＝(－x，6－)或＝(－x,6＋)．
因为·≤20，先取P(x,)进行计算，
所以(－12－x)(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤.
当2x＋5≤0，即x≤－时，上式恒成立；
当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，解得－5≤x≤1，故x≤1.
同理可得P(x，－)时，x≤－5.
又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.
故点P的横坐标的取值范围为[－5，1]．
解法二：设P(x，y)，则＝(－12－x，－y)，＝(－x，6－y)．
∵·≤20，(－12－x)·(－x)＋(－y)(6－y)≤20，
即2x－y＋5≤0.
如图，作圆O：x2＋y2＝50，直线2x－y＋5＝0与O交于E，F两点，
P在圆O上且满足2x－y＋5≤0，
点P在上．
由得F点的横坐标为1.
又D点的横坐标为－5，
P点的横坐标的取值范围为[－5，1]．
4．[2017·全国卷]已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，
由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OAOB.
故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，
圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，
圆M的方程为2＋2＝.
5．[2015·全国卷]已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
解(1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为l与C交于两点，所以<1，
解得
所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在l上，所以|MN|＝2.
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