高中数学题目：一题多解

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《一题多解：002题》

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题目：已知二元二次约束条件，求线性目标函数最值；

方法一：三角代换法（四川邛崃杨照威）

解析：

约束条件是一个椭圆方程，可以根据椭圆的参数方程进行三角代换，将问题转化为三角函数求最值问题，利用三角函数的辅助角公式和三角函数取值范围即可 ；

若约束条件是圆锥曲线 （圆、椭圆、双曲线），都可以进行三角代换；

方法二：柯西不等式（陕西西安朱少飞）

解析：

约束条件中，x和y的系数不一致，而目标函数中的x和y的系数相同，无法直接使用均值不等式，可以利用柯西不等式，构造1和1/2将x和y的系数调节相等即可；

方法三：判别式法（浙江宁波杨棋杰）

解析：

判别式法将目标函数设为t，用t和x将y表示出来，将约束条件转化为一个关于x的一元二次方程，方程有解，则判别式大于等于0，可以列出一个关于t的不等式，即可解出t的取值范围，即目标函数的最值得到解决；

方法四：数形结合法（陕西西安朱少飞）

解析：

约束条件是一个椭圆方程，目标函数可以看做直线，可以利用数形结合的思想解决这个问题；

椭圆的几何性质比价复杂，因此先做一组伸缩变换，将其转化为圆，再依据直线和圆有公共点，则圆心到直线的 距离不大于半径，列一个关于目标函数m的不等式，解不等式即可；

也可以联立直线和圆的方程，化简为关于x或y的一元二次方程，依据判别式不小于0可以列不等式，解不等式即可；

也可以联立直线和椭圆的方程，化简为关于x或y的一元二次方程，依据判别式不小于0可以列不等式，解不等式即可；

方法五：拉格朗日乘数法（山西长治李军）

解析：

拉格朗日乘数法可以用来解决此类问题，但是有一个问题作者还未明白：拉格朗日乘数法求出来的是极值点，如何说明一定就是最值点呢？还望高手指教！

更多解法征集：

1、《高中数学题目：一题多解》主要面向广大高中数学教师和高中学生，共同探讨，共同学习；

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