 已知数列{an}的前n项和为Sn，∀n∈N*满足Sn+1/(n+1）－Sn/n=1/2，且a1=1，正项数列{bn}满足bn+12﹣bn+1=bn2+bn（n∈N*），其前7项和为42． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）令cn=bn/an+an/bn，数列{cn}的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn≥2n+a，求实数a的取值范围； （3）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6，…，求这个新数列的前n项和Pn．   考点分析： 数列的求和；数列递推式． 题干分析： （1）数列{an}的前n项和为Sn，∀n∈N*满足Sn+1/(n+1）－Sn/n=1/2，且a1=1，可得数列{Sn/n}是等差数列，首项为1，公差为1/2．利用通项公式可得Sn．利用递推关系即可得出an．正项数列{bn}满足bn+12﹣bn+1=bn2+bn（n∈N*），化为：（bn+1+bn）（bn+1﹣bn）=bn+1+bn，可得bn+1﹣bn=1．再利用等差数列的求和公式即可得出． （2）cn=bn/an+an/bn=2+2（1/n－1/（n+2）），利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出． （3）n=2k时，Pn=P2k=（a1+a2+…+ak）+（b1+b2+…+bk）．n=2k﹣1时，2k被2整除而不能被4整除时，Pn=P2k﹣bk．2k被4整除时，Pn=P2k﹣ak． |
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