信号与系统之（三）采样定律

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       由于计算机无法处理连续的信号，因此必须得对连续信号进行采样，进而信号得以离散化。那么到底该以什么样的频率进行采样呢？采样定理给出了答案。以下是wiki对采样定理的描述：

采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与哈里·奈奎斯特都对它作出了重要贡献。另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。

采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值串行（即时间或空间上的离散函数）。采样定理指出，

     如果信号是带限的，并且采样频率大于信号带宽的2倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。信号频率高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。

       接下来我将证明采样定理：

其中x(t)为连续信号，p(t)为采样信号，采样周期为T，采样频率w_s=2pi/T

       所以采样后的信号为：

其中：

 

因此：

 

根据傅里叶变换的乘法性质：

 

 

那么

 

因为采样信号的傅里叶变换为：

 

 

所以采样后信号的傅里叶变换为：

下图为原连续信号、采样信号，采样后信号的傅里叶变换：

 

从图中我们可以看到只有当采样频率大于等于与连续信号的最大频率才不会出现混叠现象。

 

       最后可以用低通滤波器来处理采用后的信号，就可以还原原来的连续信号。

 

       近年来，压缩采样引起学术界和工业界的广泛关注。它作为一个新的采样理论，它通过开发信号的稀疏特性，在远小于香农采样频率的条件下，用随机采样获取信号的离散样本，然后通过非线性重建算法完美的重建信号。将会在以后的机器视觉与目标跟踪模块进行相关的介绍。