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扔硬币这个最简单的随机事件看起来太过简单，再加上文科生都知道的最基本的概率知识，以至于绝大多数人都会以为自己对扔硬币所蕴含道理都早已知道了，然而事实并非如大多数人想象的那么简单。 现实世界中的投资在大多数时间大多数场合都非常近似随机，无论是有效市场理论还是随机漫步理论都是在强调市场的随机性特征，深刻理解扔硬币这个随机世界最简单的事件对于深刻理解投资有着提升最基本技能的意义，换句话说，如果你对扔硬币都没有理解透彻，你又凭啥在比扔硬币复杂无穷倍的不确定世界里确定性滴赚到钱呢？ 本文假设关于扔硬币的概率知识为已知前提不再赘述，由易到难给您深度剖析扔硬币背后的复杂逻辑以及这些逻辑与现实投资的内在联系。如果您发现前面的内容太简单，请往后面翻。 总会有胜利者 巴菲特在1984年的演讲中讲过一个著名的全美扔硬币大赛的例子：
巴菲特用这个随机的例子并非是要证明自己是随机的，但是这个例子很好的说明了随机可以产生胜利者，巴菲特的例子强调的是同一次事件由众多参与者最终产生个别胜利的参与者，不过遗漏了另一种情况：同一个参与者扔足够多次数的硬币也会产生连续的神奇结果，例如把上面的例子改为一个人连续扔几亿次硬币，那么在这几亿次的过程中，也会出现连续几十乃至上百次同一面的情况。 只要样本足够大，任何一个随机事件都可以产生看起来很牛的结果，这是随机事件的必然结果，在随即世界里，结果不是证明“能力”的充分条件，只是必要条件，也就是能力强长期一定会成为胜者，而胜者却并不一定是成立强者。 与全美扔硬币大赛类似的一个变种是赌球骗局信，这个孙老湿相信大多数读者也知道： 给102400个人发信预测下场球赛那个队赢，其中一般人的信上写的是甲队，另一半人写的是乙队，假设甲队胜利了 再给收到过甲队胜利信的5120个人发信预测下一场，如此五轮之后还会有320个人收到每次都准确预测胜利的信，然后对这些人宣布只要肯出大价钱就准确高速下一场比赛的结果，而这320个人很难不相信对方是神奇的预测家 对现实投资的意义： 人们普遍很喜欢将“成功者”（如个股、基金等等）具备的某些属性总结为成功的原因，并且仿效这些“原因”来期望自己复制成功，或者直接投资给胜利者，事实上在随机的世界里，成功者中混杂了大量的随机胜利者，想把二者区别开来是一件非常非常困难的事情。 无法战胜的傻瓜 基本上所有的人在面对一个傻瓜的时候，都遏制不住冲上去战胜对方的欲望。 如果有个人自称赌扔硬币的绝招是拿自己的头撞墙，左边头晕就押正面，右边头晕就押反面，有人朝自己鼻子打一拳，根据那个鼻孔先流血决定押那面、又有人声称他的绝招是随便翻一个电话号码数字加起来是奇数就押正面、偶数就押反面.... 这些人宣称你不堪一击，几次就把你能赢的底裤都没了，你敢迎战么？ 不能，因为在一个随机的世界里，无论对方的策略多蠢，你都没有任何战胜对方的必然把握，你输给对方或者赢了对方的概率都是均等的。 反过来还有人声称自己非常谨慎。只在连续出现10个正面的时候才在下一次押反面，又有人宣传动用IBM最高端服务器深度学习人工智能计算历史所有正反面各种次数的规律、还有人把正反面序列分拆做傅里叶变换各种高等数学搞一轮来跟你玩 你会被这些貌似很牛逼的人吓到么？ 完全不需要被吓到，因为他咋弄也不能必然滴战胜了你..... 对投资的意义： 现实投资中，人民群众特别容易有这样的想法“那个谁笨得跟猪一样，都赚钱了，我要不抓紧时间进去赚一笔，那不是辜负上天赐予我的智商？”，也许你对你和对方智商的判断是正确的，但是你以为你将在随机世界战胜他成为大赢家的结论却并非必然的。人民群众一再在藐视他人智商的这个坑里掉进去，只能反复证明自己的智商让人捉急 非对称胜利者 如果咱俩扔硬币赌钱，扔出来正面你给我一块，扔出来反面我给你一块，我们扔一万次，你觉得谁会经常赢？你都大学本科毕业了，又学过概率你肯定说互有胜负吧，一会儿你赢钱，一会儿我赢钱，总之长期谁都不赢钱，这挺起很有道理 然而很不幸，这是错误的，在这个对称随机的游戏中，绝大多数时间里面都会是一方长期保持赚钱，孙老湿在excel里面模拟了一把咱俩的赌博，纵坐标就是咱俩谁赢的钱的总金额，横左边就是扔一万次硬币每次的当前状态： 从上面四个模拟结果可以看到，尽管输赢的金额确实不大，而且也会有如第三图那样的交错输赢的情况出现，但事实上这种情况比较罕见，但更多的是有一方长期保持胜利状态。曲线穿越0到达对方比你想象的要困难的多得多。数学上对于这个曲线最接近返还中间的定理叫做正弦定理，根据正弦定理，这条曲线只有在开始和结束的时候最接近0，其他时间都大概率偏离0. 对投资的意义： 不要以为在随机的世界里你就可以凭着运气互有胜负，当”运气“偏离到别人的时候，你的不好的”运气“将长期伴随着你，当你倒霉的时候千万不要以为明年运气到你家，大概率你永远都战胜不了你嘴里的那些靠运气成功的人，请接受这个残酷的现实 小数定理/赌徒谬误 对概率略知的人都知道大数法则，以扔硬币为例，也就是如果你扔的次数越大，正反面的比例越接近各半，赌场和保险都是建立在大数定律之上的现实应用。 那么小数定理是什么呢？就是人民群众很容易错误地默认大数法则下生效的结果在小次数的时候也会发生，小数定理指的是人民群众错用大数定理的情形。举个简单的例子就是人民群众趋向于认为扔10次硬币基本上也会是正反面各半，这么说你可能不太会同意，你肯定会说我当然知道虽然正反面各半概率最大，但是6：4、7：3当然也会发生。 关于人民群众在小次数误用大数定理的情况也被称之为：赌徒谬误。最常见的赌徒谬误我们很容易在卖彩票的地方看到：墙上张贴的那些数字已经很久没有出现了，这次应该押注这个数字。这属于错误地把百万次千万次才可能均匀分布的数字错误地以为在几次、几十次必然出现均匀分布。 在炒股的韭菜大军中的赌徒谬误现象就是：连涨几天就赶快卖了赌明天要下跌或者连跌几天忙着抄底就赌明天要上涨。 对投资的意义： 尽管长期几乎所有的标的都是涨跌各半，但是在很短的几天、几周甚至几个月的交易日里，以为前期过多的上涨必然伴随着接下来的下跌或者反之都是错误地应用了小数定理，也就是赌徒谬误。 趋势 比赌徒谬误在股市中更常见的是对“趋势”的误读。 在一个实验中大学老师让学生随手写一个模仿20次扔硬币结果的序列，例如： 正反反正反正正反反反.... 同时混杂几个真实扔硬币的结果，每次老师都可以神奇滴找出那些是学生自己写的，那些是真实扔出来的，你觉得可能吗？ 因为人会不自觉地犯两个错误，第一个是前面提到的小数定理，也就是学生写的序列几乎都会是非常接近10正10反，第二个错误是：人模拟的东西连贯次数会非常少，且很少会出现长的连贯，什么是连贯呢？就是连续是正或者连续是反，以20次扔硬币，人随手写出来的模拟结果连续三个、四个是正或反的情况很罕见，连续五个几乎就不会存在，而现实不是这样的，现实是连贯不少且经常出现长的连贯，所以老师只需要找出存在长连贯的字条和连贯次数最少的基本就是真实扔出来的结果，或者相反找出那些正反数量非常接近且频繁交替的就是人模拟出来的。 关于上述情况，孙老湿曾经在某清华群里跟人瞎聊人的行为随机性的时候，让某清华高材生随手打20个模拟结果，事实证明清华理工科高材生也难逃魔咒。有兴趣的朋友可以让朋友写，然后你观察一下结果是否正如上面所言。 长的连贯在直观中会是什么样子的呢？我们假设扔硬币正面出来你赢一块，反面出来你输一块，你连续扔120次，整个过程中你输赢结果的曲线会是什么样子呢？孙老湿在excel里面模拟了六次扔120次硬币你的输赢：
上述图形并非孙老湿特意挑选的，就是只模拟了六次，然后把六次的结果截屏下来的，请观察上述六个图像，如果你把这个120次扔硬币的结果想象成半年的交易日的K线图形，你是否很聪明滴发现了很多的“趋势”的存在？ 尤其是最后一个太可怕了，简直就是一只大牛股嘛。 上述结果都是拜托小数定理以及长的连贯的存在导致的结果，它们都不是所谓的趋势。 对投资的意义： 上面并不是要证明股市中不存在“趋势”，而是要证明一个完全随机的事件也必然导致“趋势”，股市中也许存在真正的趋势，但是你要明白并非你看到的每一个“趋势”都是趋势，你看到的大多数的“趋势”可能只是一个随机事件，如果你真的想骑上“趋势”的快马，至少仅仅根据上面这些图形来判断是远远不够的。 随机漫步与均值回归 炒股票的“专业”韭菜们最喜欢看的一个指标就是：均线，神马5日10日30日60日甚至5分钟/30分钟....韭菜们的这种行为用统计学语言来描述就是韭菜们认为股价存在着“均值回归”现象，不过有意思的是，孙老湿聊过的辣么多看均线的“高手”们，无一例外说“我也不信均线，但是其他傻逼们都信，所以我是在利用其他傻逼们的信仰才信，来割韭菜的”，别人直接信和你因为别人信你才信之间有神马本质的区别吗？孙老湿没想明白这个复杂的哲学问题。 不过请允许孙老湿用一个图形来展示一下到底什么才叫做“均值回归”：
上面两个图形中，最上面的那个跟前面的六个图形一样，是累计输赢的曲线，而下面这个图是记录的每次正反面的情况。 好好对比一下两个图形的区别，下面那个才叫做存在着强烈的“均值回归”现象，这个图形反复穿越均值0的次数有多频繁，一眼瞄过去就知道了。而上面那个图形根本连均值都不存在，还回归个屁的均值。 这两个图形的本质区别是什么呢？ 第一个图形与股票K线图本质一样，用通俗的话说就是：存量，或者说是累计量，而下面那个图形只是每一次的增量或者说变化量。 想一想你喝醉之后从烧烤店出来之后不知道东南西北踉跄徘徊，你的所在地是你之前刚刚所有东西南北瞎走之后的累计结果，这个与上面的扔硬币的累计输赢以及股票K线图都是累计结果，这种序列在学术上就叫做：随机漫步Random Walk 而Random Walk或随机漫步是由一个一个单独的随机变量叠加生产的。随机变量存在着强烈的均值回归现象，而由随机变量累积生产的随机漫步不存在均值回归现象。 投资的意义： 由随机变量累积形成的随机漫步曲线不存在均值回归，因此均线是个没有依据的伪科学 配对交易 本小节与扔硬币关系不大，但是与前一节的随机漫步和均值回归存在很深的关系，就顺手写在这里供您参考。 根据上一小节的内容我们知道了扔硬币形成的随机漫步的存量序列不存在均值回归现象，但是增量也就是构成随机变量的每一次的随机变量存在着强烈的均值回归现象。 存在强烈的均值回归意味着存在着强烈的规律，存在着强烈的规律意味着预测会更准确，预测更准确意味着更容易实现收益，这个逻辑链是成立的，现在的问题是，我们每天的交易是在随机漫步的存量数字上进行交易，不是在增量（每天的涨跌幅）上做投机，可我们的问题就是没法只在增量上做交易啊 如果你是一个来回踉跄的醉汉，你的每一个下一步都是从前面累计的点作为开始的，你不能瞬间返回到你的出发点，你只有把前面经过的路径全部抹去才能重新回到起点重新开始，这样你的每次东南西北四个方向的踉跄才能存在强烈的返回起点的回归现象。 再观察一下这个图形：
事实上，如果我们用上面那个图形的第N天的数字减去第N-1天的数字就会得到下面这个序列，这个减法就相当于醉汉瞬间回归到了远点。 所以一个随机数列减去随机数列的前面的累积量就是增量，这个似乎是很白痴的颠来倒去说话，减去存量，当然就只剩下增量了嘛。 但是这个颠来倒去来回说的废话却可以启发我们得到一个方法：用两个随机数列相减我们就可以得到单纯的增量数列了，而这个增量具有强烈的均值回归现象。 我们看两个股票过去一年的股价图形：
很熟悉的随机漫步图形是不是？ 根据我们前面的讨论，如果这两个股价走势图真的是由相同的随机变量生成的随机数列，那么我们把这两个随机数列相减的话就会得到一个具有强烈均值回归的序列，我们试一下：
比不上扔硬币那个回归的势头猛烈，但是你对比一下原始股价图形是否均值回归的趋势已经非常强烈了？孙老湿用肉眼数了一下，这个序列穿越均值的次数是18次，按交易日来算，平均不到一个月就可以回归一次，对于这种存在强回归趋势的序列，你可以通过配对交易两只股票赚取从原理均值到回归均值之间的差价， 配对交易的完整原理要比这个复杂的多，但是上述原理是配对交易的核心技术原理。 凯利公式 如果赌场扔硬币的游戏是扔一次花一块，扔出正面给一块八，扔出反面不给钱，你是否愿意玩这个游戏？因为你太聪明了，所以你肯定不玩嘛，道理很简单，因为预期收益一次才九毛，你要花一块，理论上你玩一万次的话，你要预期输掉一千块，所以聪明的你肯定不玩，只有每次赚的钱多过两块或者花的钱比九毛少你才会有正的预期收益，你才会去玩。 据说拉斯维加斯就活跃着一批玩类似这种游戏常年赚钱的华人，如此神奇的赚钱方法他们是如何做到的呢？他们通过其他方法使得自己的投注成本低于九毛，例如假设赌场为了招揽客人给酒店住客发放了代金券例如50美金，但是并不是每个人都愿意去赌博啊，如果你表示你愿意花40美金现金收购他手中的代金券，他一心动可能就卖给你了，而你的本金相当于立刻打了八折，也就是说你可以以八毛一次的成本去玩那个预期收益是九毛的游戏了，这么玩一万把之后你就可以预期稳赚到一千块了。 据说弄这事的拉斯维加斯稳赚不赔的华人都很精通大数定理呢，他们即使弄到八十万块代金券也不会一把全赌了，他们要坚持熬夜夜以继日用最小的赌注来玩，直到把赌注全部玩完，这时候他们终于稳稳滴差不多赚到了十万块 如果你确定常年可以打折收到无限多的代金券，你会不会觉得按照上述方法去稳赚不赔是个很好的办法呢？ 物理学家凯利不会，他觉得这种应用大数法则是愚蠢透顶的做法，凯利在1956年发明了著名的凯利公式改进了上述捞钱的办法，根据凯利公式，他不会按照最小赌注的方法来保证大数法则生效，凯利不会让大把的资金闲置在那里浪费投资机会，他会以比例的方式来投入。（有关凯利公式的细节请自行百度） 为了简单，孙老湿用excel模拟了一次押注一块，正面给三块，反面不给钱分别以120块本金开始使用上述大数法则押注法和凯利公式分别押注120次的结果：
120个回合后凯利公式赚到了十几万，而大数法则最小筹码押注法才坚定滴迈向了180，不过十几万对于凯利公式来说只能说是湿湿碎了
数一数凯利法左边数轴上的0，120块起家最顶峰的时候资产达到了900多亿，虽然后面掉了不少还有600多亿，王首富的小目标简直不值一提， 不过要是真以为凯利公式是魔法变钱工具那也是错误的
这次的模拟身价顶峰达到5万多后最终回到了100左右，真是跌宕起伏的人参.... 后记 扔硬币蕴含的哲理极其复杂，远远超出普通人的想象，孙老湿一篇小文不足以道其万一，正所谓： 学海无涯苦作舟， 股市有险需回头 |
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