20世纪的数学指引—希尔伯特23问

1900年8月6日，第二届国际数学家代表大会在巴黎召开，此次大会大师云集，其中就有德国数学的领袖级人物大卫·希尔伯特(David Hilbert，1862—1943)。在这场世纪之交的数学大会上，踌躇满志的希尔伯特上台便说道:“揭开隐藏在未来之中的神秘面纱，探索未来一个世纪的发展前景，谁能不为此兴奋呢？”紧接着，他提出了自己精心准备的23个数学问题，以供20世纪的数学家们研究探索。这23个问题就这样揭开了20世纪数学发展的大幕，影响深远，直至今日。而希尔伯特作为整个数学史上最伟大的数学家之一，我们将另外专门介绍。

第二届国际数学家大会筹备之初，委员会便准备找一位“如日中天”的数学家来作主旨演讲。此时的希尔伯特38岁，对于一个数学家而言，正值黄金时期，而且此时的希尔伯特已经成就卓著，是数学界中领袖级的佼佼者。于是他自然就成了首选。

希尔伯特意识到，这次世纪之交的数学大会必定意义非凡，自己必须要拿出一个像样的演讲出来。对于演讲的内容，一开始希尔伯特有两种不同的想法:一是为纯数学辩护，二是探讨新世纪数学的发展方向。拿不定主意的希尔伯特写信给挚友闵可夫斯基(Hermann Minkowski，1864—1909，德国数学家)，希望得到一些建议。而闵可夫斯基同样作为当时的数学大师，欣然谈了自己的看法:“最有吸引力的题材莫过于展望数学的未来，列出在新世纪里数学家应当努力解决的问题。这样一个题材，将会使你的演讲在今后几十年的时间里成为人们议论的话题。”

无数的想法此时在希尔伯特的头脑中产生，他想到:数学历史上一些问题的提出甚至直接导致某些学科的诞生。比如伯努利的最速下降问题催生出了变分法，而费马大定理则直接改变了代数数论的面貌等等。经过仔细而慎重的思考之后，希尔比特还是采纳了闵可夫斯基的建议。

希尔伯特给自己给自己出了一个大难题，选出具有指引作用的问题来绝非易事。大会在8月就要召开，而直到6月希尔伯特还没有动静，以至于发给到会数学家代表的日程表上还没有希尔伯特的演讲安排。希尔伯特还在吃持续的深思熟虑中……直到7月中旬，在闵可夫斯基的一再询问下，希尔伯特才给他寄了初稿。闵可夫斯基立马找来了另一位德国数学大家赫维茨(Hurwitz，1859—1919)前来一起研究和修改。最终在众人的帮助和建议下，希尔伯特总算赶在会前确定了23个问题。

希尔伯特在大会上的演讲大获成功，立马吸引了全世界数学家的注意力，各大数学杂志纷纷转载。希尔伯特23问一时间名声大噪，无数数学家慕名开始投入到这场数学洪流之中。一百余年来，对希尔伯特23问的深入探索极大地促进了现代数学的发展，可以说真正指引了数学的发展方向，具有划时代的深刻意义和影响。大数学家外尔(Weyl，1885—1955，德国数学家) 曾形象地评价希尔伯特和他的23问为:“希尔伯特就像穿杂色衣服的风笛手，甜蜜的笛声诱惑了众多的老鼠，跟着他一起跳进了数学的深渊。”而事实也是如此。

下面就简要地介绍希尔伯特23问以及它们的解决概况。

1、连续统假设

1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数间不存在其他基数，也即连续统问题。1938年，哥德尔证明了连续统假设与ZF集合公理系统相容，而在1963年，科恩又证明了连续统假设和ZF公理系统彼此独立，因而无法证明其对错。

2、算术公理无矛盾性

希尔伯特曾提出利用数学形式主义的方法加以证明，但哥德尔的不完备性定理打破了这一幻想。1936年，根岑利用超限归纳法得以证明。

3、等底等高四面体体积是否相等问题

这个问题的具体意思是:是否存在两个等底等高的四面体，它们不能被分解为有限个小四面体，使得这两组四面体相互全等。问题提出当年，德恩就证明了它。

4、两点间直线为距离最短线问题

1973年，前苏联数学家波格列洛夫认为这个问题条件太广泛，他在对称距离情况下解决了这个问题。

5、连续群的解析性

问题的意思是:是否每一个局部欧式群都一定是李群。冯·诺依曼解决了紧群的情形(1933)，庞特里亚金解决了交换群的情形(1939)，谢瓦莱解决了可解群的情形(1941)。1952年，在前人的基础上，最终由格列森、蒙哥马利和齐平共同彻底解决。

6、物理学公理化

力学和量子论方面公理化很成功，但整个物理学能否公理化至今仍是个不解之谜。

7、某些数的超越性

问题也即是要证明:若α是代数数(可作为某有理系数代数方程解的数)而β是无理数的代数数，那么α^β必是无理数或超越数(不能作为有理系数代数方程解的数)。1934年，前苏联数学家盖尔丰德将其证明，德国数学家施耐德紧随其后，也于1935年独立证明。

8、素数问题

希尔伯特具体提到了黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。由此可见希尔伯特作为数学大师的独到眼光，这三个问题均为获证。而希尔伯特对黎曼猜想情有独钟，称之为自己最想见证被证明的数学问题。

9、任意数域中证明互反律

1921年日本数学家高木贞治和1927年德国数学家阿廷分别基本解决了这个问题，而相关理论仍在发展。

10、丢番图方程的可解性

所谓丢番图方程的可解性也就是整系数方程的可解性。1970年，前苏联数学家最终将其否定。但这个过程所产生的一系列成果却影响深远。

11、任意代数数系数的二次型

德国数学家哈赛与西格尔，法国数学家韦依先后取得重大成果。但至今仍未完全获证。

12、阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域

影响甚广，涉及范围也很大，至今未获证。

13、用双变量函数解一般七次方程的不可能性

1957年，前苏联数学家阿诺尔德还是本科生的时候就解决了连续函数的情形，1964年维图什金解决了连续可微函数的情形。但仍未完全获证。

14、完备函数系的有限性

1959年，日本数学家永田雅宜举出反例将其否定。

15、舒伯特计数方法的严格性

其合理性至今未获证。

16、代数曲线和曲面的拓扑学问题

这个问题分为两部分：前半部分涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目，后半部分要求讨论极限环的最大个数和相对位置。至今未完全或证。

17、半正定形式的平方和表示问题

1927年，阿廷(没错，还是他)将其证明。

18、全等多面体构造空间的问题

德国数学家比伯巴赫和莱因哈特分别在1910年和1928年将其部分解决。

19、正则变分问题的解之解析性

伯恩斯坦与彼得洛夫斯基分别部分解决，至今未获证。

20、偏微分方程边值问题

对这个问题的研究已经形成庞大的数学分支，目前仍在蓬勃发展之中。

21、具有指定单值群的线性微分方程解的存在性

分别由希尔伯特本人在1905年和勒尔在1957年获得重大成果，最终德利涅在1970年将其解决。

22、自守函数构成的解析函数之单值化

单变量情形由克贝在1907年解决，多变量情形至今未获证。

23、进一步发展变分法

变分法在20世纪获得了长足发展。