冲刺2019年高考数学, 典型例题分析38: 分段函数相关的综合题

​设f（x）=|x/2+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．

（1）求a；

（2）已知p，q，r是正实数，且满足p+q+r=3a，求p²+q²+r²的最小值．

解：（1）x≤﹣2时，f（x）=﹣3x/2﹣1≥2；

﹣2＜x＜0时，f（x）=﹣x/2+1∈（1，2）；

x≥0时，f（x）=3x/2+1≥1

∴f（x）的最小值为1，即a=1；

（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，

∴由柯西不等式得，（p²+q²+r²）（1²+1²+1²）≥（p×1+q×1+r×1）²

=（p+q+r）²=3²=9，

即p²+q²+r²≥3，

∴p²+q²+r²的最小值为3．

考点分析：

绝对值三角不等式；分段函数的应用．

题干分析：

（1）分类讨论，求出函数的最小值，即可求a；

（2）由柯西不等式：（a²+b²+c²）（d²+e²+f²）≥（ad+be+cf）²，即可求p²+q²+r²的最小值．

解题反思：

分段函数是指在定义域内解析式不能统一表达的一类函数，从整体上看，分段函数是一个函数，而不是几个函数。综观近些年的高考试卷，可以发现分段函数问题在高考中屡见不鲜，常考不衰，并且新课标对分段函数加大了力度。

对分段函数的研究，往往需借助于分类讨论和数形结合等多种数学思想和方法，需综合各种函数的性质，正由于此，分段函数日渐受到各级命题者的青睐。