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第5集 圆锥曲线中的定值问题——2018年北京高考数学理科第19题

2018-08-01  政二街

圆锥曲线中,定值、定点、定直线问题是高考中的常考题型,难度一般都在中档及以上,这种题型通常将直线、圆、圆锥曲线等知识结合起来,注重思想方法的考查,尤其是函数与方程的思想、数形结合的思想,以及分类讨论的思想的考查,同时考查分析能力、逻辑推理能力和计算能力。

求解定值问题的常用两种思路:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个定值与变量无关;(2)直接推理、计算,并在推理计算过程中消去变量,从而得出定值。

下面以2018年北京高考数学理科第19题进行简单剖析。

一·套路

第5集 圆锥曲线中的定值问题——2018年北京高考数学理科第19题

第5集 圆锥曲线中的定值问题——2018年北京高考数学理科第19题

第5集 圆锥曲线中的定值问题——2018年北京高考数学理科第19题

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第5集 圆锥曲线中的定值问题——2018年北京高考数学理科第19题

第5集 圆锥曲线中的定值问题——2018年北京高考数学理科第19题

二·脑洞

本题考查圆锥曲线,涉及直线的方程、抛物线的方程、直线与抛物线的位置关系、平面向量的坐标运算等知识点,考查数形结合的思想、分类讨论的思想,以及设而不求的思想,同时考查逻辑推理能力和计算能力,属于中档题。

本题算不得一道别出心裁的试题,因为早在2016年的北京卷理科第19题,已经考过一道类似的题型(见迁移变式)。另外,从解题套路上来说,本题也没有多少特色,属于常规题。

法1,设出直线的方程,联立抛物线方程并化简,设出交点的坐标,从而得到韦达定理;然后将平面向量用坐标表示,将结论中的参数也用坐标表示;最后代入韦达定理,消去变量得出最值。显然,法1的解题思路模式化,解题过程程序化,并且对绝大多数圆锥曲线问题均适用。

法2,利用抛物线的参数方程设出点的坐标,借助三点共线得出相应的关系;然后根据题意将平面向量坐标化;最后将结论利用点的坐标代换,化简得到定值。

两种方法各有千秋,法1利用第一问得到韦达定理,减少了一定的运算量,而法2避免了韦达定理的繁琐计算,却需要用到三点共线。

三·迁移

第5集 圆锥曲线中的定值问题——2018年北京高考数学理科第19题

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