【原】η(z)函数的解析开拓级数式

一、η(z)的原始定义级数式：

ReZ＞0：

               η(z)=∑(n=1…∞)(-1)^n-1n^-z.

 

 

二、η(z)与黎曼ζ(z)函数的关系式：

               η(z)=(1-2^1-z)ζ(z)

 

 

三、η(z)的解析开拓级数式：

（1）ReZ＞-2：

      η(z)=lim(N→∞)[∑(n=1…N) (-1)^n-1n^-z+(-1)^NA1(N,z)]

              其中，A1(N,z)=(1/2)(2N+1/2)^-z

 

（2）ReZ＞-4：

      η(z)=lim(N→∞)[∑(n=1…N)(-1)^n-1n^-z+(-1)^NA1(N,z)+(-1)^NA2(N,z)]

              其中，A2(N,z)=(-1/16)z(z+1)(2N+1/2)^-2-z

 

（3）ReZ＞-6：

      η(z)=lim(N→∞)[∑(n=1…N)(-1)^n-1n^-z+(-1)^NA1(N,z)+(-1)^NA2(N,z)+(-1)^NA3(N,z)]

              其中，A3(N,z)=(5/768)z(z+1)(z+2)(z+3)(2N+1/2)^-4-z

 

（4）ReZ＞-2k：

      η(z)=lim(N→∞)[∑(n=1…N)(-1)^n-1n^-z+(-1)^NA1(N,z)+(-1)^NA2(N,z)+(-1)^NA3(N,z)+···+(-1)^NAk(N,z)]

              其中，Ak(N,z)=(Ak)z(z+1)(z+2)···(z+2k-3)(N+1/2)^2-2k-z

 

（5）Ak的求法：

         令N=0，用η(-2k+2)=0求之，用η(-2k+1)的值验之。