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η(z)函数的解析开拓级数式

2018-08-06  tujiengsh...

一、η(z)的原始定义级数式:

ReZ>0:
               η(z)=(n=1…∞)(-1)n-1n-z.
 
 
二、η(z)与黎曼ζ(z)函数的关系式:
               η(z)=(1-21-z)ζ(z)
 
 
三、η(z)的解析开拓级数式:
(1)ReZ>-2:
      η(z)=lim(N→∞)[(n=1…N) (-1)n-1n-z+(-1)NA1(N,z)]
              其中,A1(N,z)=(1/2)(2N+1/2)-z
 
(2)ReZ>-4:
      η(z)=lim(N→∞)[(n=1…N)(-1)n-1n-z+(-1)NA1(N,z)+(-1)NA2(N,z)]
              其中,A2(N,z)=(-1/16)z(z+1)(2N+1/2)-2-z
 
(3)ReZ>-6:
      η(z)=lim(N→∞)[(n=1…N)(-1)n-1n-z+(-1)NA1(N,z)+(-1)NA2(N,z)+(-1)NA3(N,z)]
              其中,A3(N,z)=(5/768)z(z+1)(z+2)(z+3)(2N+1/2)-4-z
 
(4)ReZ>-2k:
      η(z)=lim(N→∞)[(n=1…N)(-1)n-1n-z+(-1)NA1(N,z)+(-1)NA2(N,z)+(-1)NA3(N,z)+···+(-1)NAk(N,z)]
              其中,Ak(N,z)=(Ak)z(z+1)(z+2)···(z+2k-3)(N+1/2)2-2k-z
 

(5)Ak的求法:

         令N=0,用η(-2k+2)=0求之,用η(-2k+1)的值验之。

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