【每日一题】中考模拟演练：圆

每日一题

如图，在Rt△ACB中，∠A=30°，过点B、C的⊙O交AB于D，交AC于E，点F在AE上，连接DE、DC、BE和DF，已知BC=EC，AD=AF．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）当BC=4时，求弦CD的长．

2018 8.2习题答案

(1)y=x2﹣x+4；

(2)证明过程见解析；

(3)最大值为12，此时D点坐标为（2，0）

试题分析：

(1)根据抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系数法，求出抛物线的表达式即可；

(2)利用两点间的距离公式分别计算出OA=4，OB=4，CB=2，CA=2，则OA=OB，CA=CB，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直；

(3)如图2，利用两点间的距离公式分别计算出AB=4，OC=6，设D（t，0），根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称，则可判断EF和DG为对应线段，所以四边形DEFG为矩形，DG∥OC，则DE∥AB，于是可判断△ODE∽△OAB，利用相似比得DE=t，接着证明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG=（4﹣t），所以矩形DEFG的面积=DE·DG=t·（4﹣t）=﹣3t2+12t，然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值，从而得到此时D点坐标．

试题解析：

(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 根据题意得，

解得，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣x+4；

(2)如图1，连结AB、OC，   

∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），

∴OA=4，OB=4，CB=2，CA=2，

∴OA=OB，CA=CB，

∴OC垂直平分AB， 即四边形AOBC的两条对角线互相垂直；

(3)能。如图2，AB=4，OC=6，设D（t，0），

∵四边形DEFG为平行四边形，       

∴EF∥DG，EF=DG，        

∵OC垂直平分AB，

∴△OBC与△OAC关于OC对称，     

∴EF和DG为对应线段，∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC，

∴DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴=，

即=，解得DE=t， 

∵DG∥OC，

∴△ADG∽△AOC，∴=，即=，解得DG=（4﹣t），

∴矩形DEFG的面积=DE·DG=t·（4﹣t）=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12，

当t=2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为（2，0）．

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