【原】伽马函数围道积分式为全定义的证明

一、伽马函数的围道积分式：

       2πi/Γ(s)=∮c z^-se^zdz（｜args｜≤π）

       围道c：从负实轴无穷远处出发，正向绕原点一周，再回到出发点。

 

二、证明当ReS＜1时，围道积分式成立：（ε为正常数）

 （1）∮c z^-se^zdz

         =∫(∞,ε)(re^-πi)^-se^{re^(-πi)}d(re^-πi)+∫(-π,π)(εe^θi)^-se^{εe^(θi)}d(εe^θi)+∫(ε,∞)(re^πi)^-se^{re^(πi)}d(re^πi)

         =(e^sπi-e^-sπi)∫(ε,∞)r^-se^-rdr+i∫(-π,π)ε^1-se^(1-s)θie^{εe^(θi)}dθ

（2）为化简方便，令ε→+0得：∮c z^-se^zdz=2isin(sπ)Γ(1-s)

（3）由余元公式：Γ(s)Γ(1-s)=π/sin(sπ)得：∮c z^-se^zdz=2πi/Γ(s)  即成立。

 

三、证明当S为一切复数时，围道积分式满足函数方程：

（1）∮c d(z^-se^z)=[(re^-πi)^-se^{re^(-πi)}](∞,ε)+[(εe^θi)^-se^{εe^(θi)}](-π,π)+[(re^πi)^-se^{re^(πi)}](ε,∞)

              =[(-r)^-se^-r](∞,ε)+[(εe^θi)^-se^{εe^(θi)}](-π,π)+[(-r)^-se^-r](ε,∞)

              =(-ε)^-se^-ε+(-ε)^-se^-ε-(-ε)^-se^-ε-(-ε)^-se^-ε

                  =0

（2）2πi/Γ(s) =∮c z^-se^zdz=∮c  z^-sde^z=∮c d(z^-se^z)+s∮c z^-s-1e^zdz

              =2πis/Γ(s+1)    得证