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在一些实际问题中，常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分了。因此我们对定积分作如下两种推广，从而形成反常积分的概念。 一、无穷限的反常积分 设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，任取t>a,作定积分∫f(x)dx(上限t,下限a)，再求极限 t→+∞，lim∫f(x)dx(上限t,下限a) (4-1) 这个对变上限定积分的算式(4-1)称为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的反常积分，记为∫f(x)dx(上限+∞,下限a),即 ∫f(x)dx(上限+∞,下限a)=t→+∞，lim∫f(x)dx(上限t,下限a) (4-1') 根据算式(4-1)的结果是否存在，可引入反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限a)收敛与发散的定义如下： 定义(1)设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，如果极限(4-1)存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限a)收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限(4-1)不存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限a)发散。 类似地，设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续，任取t<> t→-∞,lim∫f(x)dx(上限b,下限t) (4-2) 称为函数f(x)在无穷区间(-∞,b]上的反常积分，记为∫f(x)dx(上限b,下限-∞)，即 ∫f(x)dx(上限b,下限-∞)=t→-∞,lim∫f(x)dx(上限b,下限t) (4-2') 于是有(2)设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续，如果极限(4-2)存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b,下限-∞)收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限(4-2)不存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b,下限-∞)发散。 设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，反常积分∫f(x)dx(上限0,下限-∞)与反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限0)之和称为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的反常积分，记为∫f(x)dx(上限+∞,下限-∞)，即
(3)设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，如果反常积分∫f(x)dx(上限0,下限-∞)与反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限)均收敛，那么称反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限-∞)收敛，并称反常积分∫f(x)dx(上限0,下限-∞)的值与反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限0)的值之和为反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限-∞)的值，否则就称反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限-∞)发散。 上述反常积分统称为无穷限的反常积分。 由上述定义及牛顿-莱布尼茨公式，可得如下结果： 设F(x)为f(x)在[a,+∞)上的一个原函数，若x→+∞,limF(x)存在，则反常积分 ∫f(x)dx(上限+∞,下限a)=limF(x)-F(a)(x→+∞) 若x→+∞,limF(x)不存在，则反常积分∫f(x)dx(上限+∞,下限a)发散。
上面的阐述对于一些小伙伴们还是有点凌乱，不过不要紧，接下来把无穷限反常积分的概念整理了一章表，请看、
做列题巩固下：
分析：这个反常积分值得几何意义是：当a→-∞、b→+∞时，虽然图5-9中阴影部分向左、右无限延伸，但其面积却有极限值π，简单地说，它是位于曲线y=1/(1+x^2)的下方，x轴上方的图形面积。 二、无界函数的反常积分 现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。 如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数f(x)的瑕点(也称为无界间断点)。无界函数的反常积分又称为瑕积分。 设函数f(x)在区间(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点。任取t>a,作定积分∫f(x)dx(上限b,下限t)，再求极限 t→a+,lim∫f(x)dx(上限b下限t) (4-4) 这个对变下限的定积分求极限的算式(4-4)称为函数f(x)在区间(a,b]上的反常积分，仍然记为∫f(x)dx(上限b下限a)，即 ∫f(x)dx(上限b下限a)=t→a+,lim∫f(x)dx(上限b下限t) (4-4') 根据算式(4-4)的结果是否存在，可引入反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)收敛与发散的定义如下: 定义(2)(1)设函数f(x)在区间(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点，如果极限(4-4)存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限(4-4)不存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)发散。 (2)设函数f(x)在区间[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点，如果极限(4-5)存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限(4-5)不存在，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)发散。 (3)设函数f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]上连续，点c为f(x)的瑕点。如果反常积分∫f(x)dx(上限c下限a)与反常积分∫f(x)dx(上限b下限c)均收敛，那么称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)收敛，并称反常积分∫f(x)dx(上限c下限a)的值与反常积分∫f(x)dx(上限b下限c)的值之和为反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)的值；否则，就称反常积分∫f(x)dx(上限b下限a)发散。
三、几种常见的反常积分(广义积分)
四、反常积分(广义积分)的计算
下面看下列题：
注意：在(1)小题中原为无穷限的反常积分，而经引入新的积分变量t后就变成了定积分，这说明定积分与反常积分有时可以相互转换。 四大广义积分的性质定义和计算到此就结束了，为什么反常积分要单独拿出来讲，想必大家也已经有所了解了，希望大家收藏并分享下。 下节课学习定积分的应用。(此类题目通常压轴出现 |
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